\documentclass[a4paper, 11pt]{article}
\include{practicas}

\begin{document}

\encabezado{3}{Esp\'acios M\'etricos}

{\scriptsize{
 \begin{flushright}
  \textit{``Mathematics is a part of physics.  }\\ 
  \textit{Physics is an experimental science, a part of natural science.}\\
  \textit{Mathematics is the part of physics where experiments are cheap...."}\\
  \textsc {V.I. Arnold}.
 \end{flushright}
}}

\linea{A. $\R^n$ como Esp\'acio M\'etrico}
\ejer 
Probar que toda colecci\'on de conjuntos abiertos disjuntos de $\R^n$ es a lo sumo numerable. Dar un ejemplo de colecci\'on de conjuntos cerrados disjuntos que no sea numerable.

\ejer
Sea $G$ la colecci\'on de todas las bolas  $B(q,r)$ de $\R^n$ con centro $ q\in \Q^{n}$ y radio racional r. Sea $S\subset$ $\R^n$  abierto y $x\in S$. Probar que $\exists \  B_k \in G$  tal que $x\in B_k \subseteq  S$.

\ejer {\it Teorema de Lindel\"{o}f. } Sea $A\subseteq \R^n$  y $C= \big( W_i \big) _{i\in I} $ un cubrimiento abierto de $A$. Probar que existe un subcubrimiento numerable de $C$ que cubre a $A$.

\ejer 
Sea $S\subseteq \R^n$. Un punto $ x\in \R^n$  es un {\it punto de condensaci\'on} de $S$ si toda $n$-bola $B(x)$ tiene la propiedad de que $B(x)\cap S$ es no numerable. Probar que si $S$ es no numerable entonces existe un punto $x\in S$ de condensaci\'on de $S$.

\ejer 
Dado $S\subset \R^n $, probar que la colecci\'on de puntos aislados de $S$ es numerable.

\ejer
Se definen las funciones $d_i:\R\times\R\longrightarrow\R$ ($1\leq i\leq 5$) 
por:
$$
d_1(x,y)=(x-y)^2\qquad;\qquad
d_2(x,y)=\sqrt{|x-y|}\qquad;\qquad
d_3(x,y)=|x^2-y^2|;$$
$$d_4(x,y)=|x-2y|\qquad;\qquad
d_5(x,y)=\dfrac{|x-y|}{1+|x-y|}.$$
Determinar cu\'ales de estas funciones son m\'etricas en $\R$.

\ejer\label{EjMet2yinf}
\begin{enumerate}
\item[i)] Probar que las siguientes funciones son m\'etricas en $\R^n$:
\begin{enumerate}
\item $d_1(x,y)= \dps{\sum_{i=1}^n}|x_i-y_i|$.
\item $d_2(x,y)= \Big(\dps{\sum_{i=1}^n}(x_i-y_i)^2\Big)^{1/2}$.
\item $d_\infty(x,y)=\dps\sup_{1\le i \le n}|x_i-y_i|$.
\end{enumerate}
\item[ii)] Para $n=2$, dibujar las tres bolas abiertas $B(0, 1)$ de centro 
$0 \in \R^2$ y radio $1$.
\end{enumerate}

\eject

\linea{B. Espacios M\'etricos}

{\scriptsize{
 \begin{flushright}
  \textit{``Muchos resultados principales del An\'alisis no tienen nada que ver con la naturaleza algebraica}\\ 
  \textit{de los n\'umeros reales y s\'olo se apoyan en aquellas propiedadedes de los n\'umeros}\\
  \textit{que est\'an relacionadas con el concepto de distancia.}\\
  \textit{As\'{\i}, llegamos al concepto de espacio m\'etrico,}\\
  \textit{uno de los m\'as importantes de la matem\'atica moderna."}\\ 
  \textsc {Kolmogorov}
 \end{flushright}
}}



%\bigskip{\bf \large Espacios M\'erticos, Topolog\'{\i}as}
\ejer
Sea $N:\Z\longrightarrow\R$ la funci\'on definida por
$$N(a)=\begin{cases}
2^{-n} & \text{si } a \ne 0, \quad p^n\mid a \quad  \text{y} \quad 
p^{n+1}\not|~a \ ; \cr
0 & \text{si }  a=0\end{cases}$$
donde $p$ es un primo fijo, y sea $d: \Z\times \Z \longrightarrow \R$ 
dada por
$d(a,b)= N(a-b)$. 
Probar que $(\Z, d)$ es un espacio m\'etrico.

\ejer
Sean $X$ un conjunto y $\delta:X\times X\longrightarrow\R$ definida por
$$
\delta(x,y)=\begin{cases}1 & \text{si } x\ne y, \cr
0 & \text{si } x=y.\end{cases}
$$
Verificar que $\delta$ es una m\'etrica y hallar los abiertos de $(X,\delta)$.

\sm
{\sc Nota}: $\delta$ se llama {\em m\'etrica discreta} y $(X,\delta)$ 
{\em espacio m\'etrico discreto}.

\ejer
Sea $\ell^\infty=\{(a_n)_{n\in \N}\subset\R\tq (a_n)_{n\in \N}
\hbox{ es acotada}\}$. Se considera $d: \ell^\infty \times \ell^\infty \to \R$
definida por
$d((a_n)_{n\in \N},(b_n)_{n\in \N})=
%\underset{n\in\N}
\dps\sup_{n\in \N} |a_n-b_n|$.
Probar que 
$(\ell^\infty,d)$ es un espacio m\'etrico.



\ejer
Dados $a, b \in \R$, $a<b$, se define
$C[a, b]  = \{ f: [a, b] \to \R \tq f \hbox{ es continua }\}$.
Probar que son espacios m\'etricos:
\begin{enumerate}
\item[i)] $(C[a, b], d_1)$, con $d_1(f,g)=\dps{\int_a^b|f(x)-g(x)|~dx}$.
\item[ii)] $(C[a, b], d_\infty)$, con $d_\infty= \dps\sup_{x\in [a, b]}
|f(x) - g(x)|$.
\end{enumerate}


\ejer
Sean $(X_1,d_1)$ y $(X_2,d_2)$ espacios m\'etricos. Consideremos el conjunto
$X_1 \times X_2$ y la 
aplicaci\'on $d:(X_1\times X_2)\times (X_1\times X_2)\longrightarrow\R$
dada por
$d((x_1,x_2),(y_1,y_2))=d_1(x_1,y_1)+d_2(x_2,y_2)$. 
\begin{enumerate}
\item[i)] Probar que $d$ define 
una m\'etrica en $X_1\times X_2$.
\item[ii)] Construir otras m\'etricas en $X_1\times X_2$. 
\end{enumerate}

\newpage

\ejer
\begin{enumerate}
\item[i)] Sea $(X,d)$ un espacio m\'etrico. Se define 
$d'(x,y)=\dfrac{d(x,y)}{1+d(x,y)}$. 
Probar que $d'$ es una m\'etrica en $X$ topol\'ogicamente equivalente a $d$ (o sea, que ambas dan lugar a una misma noci\'on de conjunto abierto). Observar que $0\leq d'(x,y)<1$ para todo $x,y\in X$.
\item[ii)] Sea $(X_n,d_n)_{n\in\N}$ una sucesi\'on de espacios m\'etricos 
tales que para cada $n\in \N$ vale \linebreak
$0\leq d_n(x,y)\leq 1$ para todo par de elementos $x, y \in X_n$. 
Para cada $x=(x_n)_{n\in \N}$, 
$y=(y_n)_{n\in \N}$ definimos:
$$d(x,y)=\dps{\sum_{n=1}^\infty}\dfrac{d_n(x_n,y_n)}{2^n}.$$
Probar que $d$ es una m\'etrica en el espacio producto $X=\dps{\prod_{n=1}^\infty} X_n$.
\item[iii)] Sea $(X,d)$ un espacio m\'etrico. Llamamos $X^\N$ al conjunto de las sucesiones de 
$X$. Mostrar que aplicando i) y ii) se le puede dar una métrica a $X^\N$.\end{enumerate}


\ejer
Sean $d_\infty$ y $d_2$ las m\'etricas en $\R^n$ definidas en el Ejercicio 7.
Mostrar que 
%$d_\infty$ y $\rho$ definen la misma topolog\'\i a, i.e., 
un conjunto es abierto para $d_\infty$ si y s\'olo 
si lo es para $d_2$.

\linea{C. Algunas Propiedades Topológicas}

\ejer
Sea $(X,d)$ un espacio m\'etrico y sean $A, B \subseteq X$.
\begin{enumerate}
\item[i)] Probar las siguientes propiedades del 
{\em interior} de un conjunto:
\begin{enumerate}
\item $A^\circ \ = \dps\bigcup_{G \hbox{ \scriptsize{abierto} }\atop G \subseteq A}
\!\!\! G$ .
\item $\emptyset^\circ = \emptyset$\quad y \quad $X^\circ= X$.
\item $A\subseteq B \qquad 
\Longrightarrow \qquad A^\circ \subseteq B^\circ$.
\item $(A\cap B)^\circ= A^\circ \cap B^\circ$.\quad
>Se puede generalizar a una intersecci\'on infinita?
\item $(A \cup B)^\circ \supseteq A^\circ \cup B^\circ$.\quad
>Vale la igualdad? 
\end{enumerate}
\item[ii)] Probar las siguientes propiedades de la
{\em clausura} de un conjunto:
\begin{enumerate}
\item $\overline{A}= 
\dps\bigcap_{F \hbox{ \scriptsize cerrado}\atop A \subseteq F}\!\!\! F$.
\item $\overline\emptyset=\emptyset$ \qquad y \qquad $\overline X=X$.
\item $A\subseteq B \qquad \Longrightarrow \qquad \overline A\subseteq\overline B$.
\item $\overline{A\cup B}=\overline A\cup\overline B$. \quad
>Se puede generalizar a una uni\'on infinita?
\item $\overline{A\cap B}\subseteq \overline A \cap \overline B$. 
\item $x\in \overline A$\quad$\Longleftrightarrow$\quad existe una sucesi\'on
$(x_n)_{n\in \N}\subseteq A$ tal que 
$x_n\longrightarrow x$.
\end{enumerate}

\newpage
\item[iii)] Probar las siguientes propiedades que relacionan interior y 
clausura:
\begin{enumerate}
\item $(X-A)^\circ = X-\overline A$.
\item $\overline{X-A}=X-{A}^\circ$.
\item >Son ciertas las igualdades:\quad $\overline A= \overline{A^\circ} $ \quad;\quad $A^\circ=({\overline A})^\circ$ ?
\end{enumerate}
\item[iv)] Probar las siguientes 
propiedades de la {\em frontera} de un conjunto:
\begin{enumerate}
\item $\partial A=\overline A\cap\overline{X-A}$.
\item $\partial A$ es cerrado.
\item $\partial A=\partial(X-A)$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\ejer
Sea $(X, d)$ un espacio m\'etrico y sean $G\subseteq X$ abierto y $F\subseteq X$
cerrado. Probar que $F-G$ es cerrado y $G-F$ es abierto.

%\eject

\ejer
Sea $(X,d)$ un espacio m\'etrico. Dados $a\in X$ y $r\in\R_{>0}$,  
llamamos {\em bola cerrada de centro $a$ y radio $r$} al conjunto 
$\overline B(a,r)=\{x\in X\tq d(x,a)\leq r\}$.
\begin{enumerate}
\item[i)] Probar que $\overline B(a,r)$ es un conjunto cerrado y que 
$\overline{B(a,r)}\subseteq \overline B(a,r)$.
\item[ii)] Dar un ejemplo de un espacio m\'etrico y una bola abierta 
$B(a,r)$ cuya clausura no sea $\overline B(a,r)$.
\end{enumerate}


\ejer 
Sean $(X, d_1)$ e $(Y, d_2)$ espacios m\'etricos. Se considera
el espacio m\'etrico
$(X \times Y, d)$, donde $d$ es la m\'etrica definida en el Ejercicio 12.
Probar que para $A \subseteq X$ y $B \subseteq Y$ valen:
\begin{enumerate}
\item[i)] $(A\times B)^\circ=A^\circ\times B^\circ$.
\item[ii)] $\overline{A\times B}=\overline A\times\overline B$.
\end{enumerate}


\ejer
Sea $(X,d)$ un espacio m\'etrico y sean $A$, $B$ subconjuntos de $X$. 
\begin{enumerate}
\item[i)] Probar las siguientes propiedades del {\em derivado} de un conjunto:
\begin{enumerate}
\item $A'$ es cerrado.
\item $A\subseteq B\qquad \Longrightarrow\qquad A'\subseteq B'$.
\item $(A \cup B)' = A' \cup B'$.
\item $\overline A = A\cup A'$.
\item $(\overline A)' = A'$.
\end{enumerate}
\item[ii)] Probar que $x \in X$ es un punto de acumulaci\'on de 
$A \subseteq X$
si y s\'olo si existe una sucesi\'on $(x_n)_{n\in \N}\subseteq A$ tal que 
$x_n \longrightarrow x$  y $(x_n)_{n\in \N}$ no es casi constante.
\end{enumerate}




\ejer
Hallar interior, clausura, conjunto derivado y frontera
de cada uno de los si\-guien\-tes subconjuntos de $\R$. 
Determinar cu\'ales son abiertos o cerrados.
$$[0,1]\qquad;\qquad (0,1)\qquad;\qquad \Q\qquad;\qquad \Q\cap[0,1]\qquad;\qquad 
\Z\qquad;\qquad [0,1)\cup\{2\}.$$


\ejer
Caracterizar los abiertos y los cerrados de
$\Z$ considerado como espacio m\'etrico con la m\'etrica inducida por la 
usual de $\R$. Generalizar a un subespacio 
discreto de un espacio m\'etrico $X$.



\ejer
Sea $(X,d)$ un espacio m\'etrico y sean $(x_n)_{n\in \N}$, 
$(y_n)_{n\in \N}$ sucesiones en $X$.
\begin{enumerate}
\item[i)] Si $\dps\lim_{n\to \infty} x_n = x$ y 
$\dps\lim_{n\to \infty} y_n=y$, probar que 
$\dps\lim_{n\to \infty} d(x_n,y_n)=d(x,y)$.
\item[ii)] Si $(x_n)_{n\in \N}$ , $(y_n)_{n\in \N}$ son dos sucesiones de 
Cauchy en $X$, probar que la sucesi\'on 
real $(d(x_n,y_n))_{n\in \N}$ es convergente.
\end{enumerate}


\ejer
Un subconjunto $A$ de un espacio m\'etrico $X$ se dice un $G_\delta$ 
(resp. un $F_\sigma$) si es intersecci\'on de una sucesi\'on de abiertos 
(resp. uni\'on de una sucesi\'on de cerrados) de $X$.
\begin{enumerate}
\item[i)] Probar que el complemento de un $G_\delta$ es un $F_\sigma$.
\item[ii)] Probar que el complemento de un $F_\sigma$ es un $G_\delta$.
\item[ii)] Probar que todo cerrado es un $G_\delta$.
Deducir que todo abierto es un $F_\sigma$.
\item[iv)]
\begin{enumerate}
\item Exhibir una sucesi\'on de abiertos de $\R$ cuya intersecci\'on sea 
$[0,1)$. Idem con $[0,1]$.
\item Exhibir una sucesi\'on de cerrados de $\R$ cuya uni\'on sea $[0,1)$.
\item >Qu\'e conclusi\'on puede obtenerse de estos ejemplos?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

%\eject

\linea{D. Distancias a conjuntos}

%\bigskip\bigskip
%\noindent\hrule
%\medskip
%\small \textbf{Distancias a conjuntos:}

\ejer
Sea $(X,d)$ un espacio m\'etrico. Dados $A\subseteq X$ no vac\'\i o y 
$x\in X$, se define 
la {\em distancia de $x$ a $A$} como 
$d_A(x)=\inf \{d(x,a)\tq a\in A\}$. Probar:
\begin{enumerate}
\item[i)] $\big|d_A(x)-d_A(y)\big|\leq d(x,y)$\quad
para todo par de elementos $x , y \in X$.
\item[ii)] $x\in A\quad\Longrightarrow\quad d_A(x)=0$.
\item[iii)] $d_A(x)=0\quad\Longleftrightarrow\quad x\in\overline A$.
\item[iv)] $B_A(r)=\{x\in X\tq d_A(x)<r\}$ es abierto para todo $r>0$ .
\item[v)] $\overline B_A(r)=\{x\in X\tq d_A(x)\leq r\}$ es cerrado para todo $r>0$.
\end{enumerate}



\ejer
Sea $(X,d)$ un espacio m\'etrico. Dados $A,B\subseteq X$ no vac\'\i os se 
define la {\em distancia entre $A$ y $B$ } por 
$\ d(A,B)=\inf\{d(a,b)\tq a\in A \ , \ b\in B\}$. 
Determinar si las siguientes afirmaciones son \textbf{verdaderas o falsas}:
\begin{enumerate}
\item[i)] $d(A,B)=d(\overline A,B)$.
\item[ii)] $d(A,B)=0\quad\Longleftrightarrow\quad A\cap B\ne\emptyset$.
\item[iii)] $d(A,B)=0\quad\Longleftrightarrow\quad \overline A\cap 
\overline B\ne\emptyset$.
\item[iv)] $d(A, B) \le d(A, C) + d(C, B)$.
\end{enumerate}

\end{document}