%\documentstyle[11pt]{article}
\documentclass[a4paper, 11pt]{article}
\include{practicas}


\begin{document}

\encabezado 2{?`Hay diferentes infinitos?}
\noindent\hrule

{\scriptsize{
 \begin{flushright}
  \textit{``Llamaremos n\'umero cardinal de $M$ al concepto general que,}\\ 
  \textit{por medio de nuestra activa capacidad de pensar,}\\ 
  \textit{surge del conjunto $M$ cuando hacemos abstracción}\\
  \textit{de la naturaleza y el orden de sus elementos.}\\  
  \textit{Denotamos el resultado de este doble acto de abstracción por $\overline{\overline{M}}$"}\\ 
  \textsc {Georg Cantor, 1895.}
 \end{flushright}
}}

\linea{A. Propiedades b\'asicas de los Conjuntos}



\ejer
Demostrar las siguientes igualdades de conjuntos:
\begin{enumerate}
\item[i)] $B-\dps{\bigcup_{i\in I} A_i=\bigcap_{i\in I}(B-A_i)}$.
\item[ii)] $B-\dps{\bigcap_{i\in I} A_i=\bigcup_{i\in I}(B-A_i)}$.
\item[iii)] 
$\dps{\bigcup_{i\in I}(A_i\cap B)=B\cap \Big(\bigcup_{i\in I}A_i\Big)}$.
\end{enumerate}


\ejer 
Sea $(A_n)_{n\in \N}$ una familia de conjuntos y sea
$A=\dps{\bigcup_{n\in\N}A_n}$. Hallar una familia de conjuntos
$(B_n)_{n\in\N}$ que verifique simult\'aneamente:
\begin{itemize}
\item[a)] $\ B_n \subseteq A_n$ para cada $n\in \N$;
\item[b)] $\ B_k\cap B_j=\emptyset \ \hbox{ si }\ k\ne j$;
\item[c)] $\ A=\dps{\bigcup_{n\in\N}B_n}$.
\end{itemize}

\ejer
Sea $L$ un conjunto parcialmente ordenado en el cual todo subconjunto
no vacío tiene m\'aximo y m\'\i nimo. Probar que $L$ es una cadena
finita (o sea, un conjunto finito y totalmente ordenado).


\ejer 
Sea $f:X\longrightarrow Y$ una funci\'on y sean $A$ y $B$ subconjuntos de 
$X$. 
\begin{enumerate}
\item[i)] Demostrar que:
\begin{enumerate}
\item $f(A\cup B)=f(A)\cup f(B)$.
\item $f(A\cap B)\subseteq f(A)\cap f(B)$.
\end{enumerate}
\item[ii)] Generalizar al caso de uniones e intersecciones infinitas.
\item[iii)] Exhibir un ejemplo donde la inclusi\'on en i) (b) sea estricta.
\end{enumerate}



\ejer 
Sean $f:X\longrightarrow Y$ una funci\'on, $A\subseteq X$ y 
$B,B_1,B_2\subseteq Y$. Demostrar que:
\begin{enumerate}
\item[i)] $A\subseteq f^{-1}(f(A))$.
\item[ii)] $f(f^{-1}(B))\subseteq B$.
\item[iii)] $f^{-1}(Y-B)=X-f^{-1}(B)$.
\item[iv)] $f^{-1}(B_1\cup B_2)=f^{-1}(B_1)\cup f^{-1}(B_2)$.
\item[v)] $f^{-1}(B_1\cap B_2)=f^{-1}(B_1)\cap f^{-1}(B_2)$.
\end{enumerate}
Generalizar iv) y v) al caso de uniones e intersecciones infinitas.



\ejer 
Sea $f:X\longrightarrow Y$ una funci\'on. 
Probar que $f(f^{-1}(B))=B$ para cada $B\subseteq Y$ si y s\'olo si 
$f$ es suryectiva.


\ejer 
Sea $f:X\longrightarrow Y$ una funci\'on. 
Probar que las siguientes propiedades son equivalentes:
\begin{enumerate}
\item $f$ es inyectiva;
\item $f(A\cap B)=f(A)\cap f(B)$ para todo $A,B\subseteq X$;
\item $f^{-1}(f(A))=A$ para todo $A\subseteq X$;
\item $f(A)\cap f(B)=\emptyset$ para todo par de subconjuntos $A,B$ tales que 
$A\cap B=\emptyset$;
\item $f(A-B)=f(A)-f(B)$ para todo $B\subseteq A\subseteq X$.
\end{enumerate}


\ejer 
Para cada subconjunto $S$ de un conjunto $A$ dado se define
la {\em funci\'on caracter\'\i stica de $S$},
${\cal X}_S:A\longrightarrow\{0,1\}$, por 
$${\cal X}_S(a)=
\begin{cases} 1 & \text{si } a\in S, \cr 
0 &  \text{si } a\notin S.\end{cases}$$
Probar que:
\begin{enumerate}
\item[i)] ${\cal X}_{S\cap T}={\cal X}_S \cdot {\cal X}_T$ para todo 
par de subconjuntos $S,T\subseteq A$.
\item[ii)] ${\cal X}_{A-S}=1-{\cal X}_S$ para todo $S\subseteq A$.
\item[iii)] ${\cal X}_S~+~{\cal X}_T={\cal X}_{S\cup T}~+~{\cal X}_{S\cap T}$ para todo 
$S,T\subseteq A$.
\end{enumerate}

\ejer
Sea $A$ un cadena (o sea, un conjunto con un orden total) y sea $B$ un conjunto parcialmente ordenado. Sea $f : A \to B$ una funci\'on inyectiva para la cual si $a, b \in A$ 
y $a \le b$, entonces $f(a) \le f(b)$. Probar que
$f(a) \le f(b)$ implica $a \le b$.



\ejer 
Sea $\sim$ una relaci\'on de equivalencia sobre un conjunto $A$. Para cada 
$a\in A$ se define el conjunto $S_a=\{b\in A \tq a\sim b\}$. Probar que:
\begin{enumerate}
\item[i)] Para todo par de elementos $a_1,a_2\in A$ vale:
$S_{a_1}=S_{a_2}$ o $S_{a_1}\cap S_{a_2}=
\emptyset$.
\item[ii)] $A=\dps{\bigcup_{a\in A} S_a}$.
\end{enumerate} 

\eject

\linea{B. Cardinalidad}

{\scriptsize{
 \begin{flushright}
  \textit{``Lo peligroso, equ\'{\i}voco de la idea `los n\'umeros reales no pueden ordenarse en una serie'}\\ 
  \textit{reside en que hace que lo que es una determinaci\'on conceptual,}\\
\textit{una formaci\'on conceptual, aparezca como un hecho natural"}\\
  \textsc {Ludvig Wittgenstein,}  \textit{Observaciones sobre los fundamentos de la matem\'atica.}
 \end{flushright}
}}

{\scriptsize{
 \begin{flushright}
  \textit{``Je le vois, mais je ne le crois pas!"}\\
  \textit{Carta de \textsc{Cantor} a \textsc{Dedekind} sobre la biyección entre los puntos del segmento unitario y el espacion $n$-dimensional.}
 \end{flushright}
}}

\ejer Demostrar que si $A$ es un conjunto de $n$ elementos, entonces ${\mathcal 
P}(A)$ tiene $2^n$ elementos.

\ejer 
Sea $A$ un conjunto. Probar que son equivalentes:
\begin{enumerate}
\item $A$ es infinito (\textit{i.e.} tiene un subconjunto en biyecci\'on con $\N$);
\item para todo $x \in A$, existe una funci\'on 
$f_x : A \to A - \{ x\}$ biyectiva;
\item para todo  $\{ x_1, \dots, x_n\}\subset A$, existe una 
funci\'on 
$f_{\{ x_1, \dots, x_n\}} : A \to A - \{ x_1, \dots, x_n\}$ biyectiva.
\end{enumerate}


\ejer
Sea $A$ un conjunto numerable. Supongamos que existe una funci\'on 
sobreyectiva de $A$ en un conjunto $B$. Probar que $B$ es a lo sumo numerable.


\ejer 
Probar que los siguientes conjuntos son numerables
(es decir, tienen cardinal $\aleph_0$):
$$ \Z_{\leq-1} \quad;\quad \Z_{\geq-3} \quad;\quad  3.\N\quad;
\quad \Z \quad; \quad \N^2 \quad;
\quad \Z\times \N \quad;\quad \Q \quad;
\quad \N^m \quad  (m\in\N).$$


\ejer
Probar que una cadena infinita contiene o bien una cadena isomorfa (con el
orden) a $\N$ o bien una cadena isomorfa a $\Z_{\le -1}$.


%\ejer Sea $A$ un conjunto con $\sharp A=\aleph_0$. Probar que
%\begin{center} $\sharp(A^n)=\sharp(A\times\overset{n}\dots\times A)=\sharp(A)=\aleph_0$
%\end{center}


\ejer
\begin{enumerate}
\item[i)] Sean $A$ y $B$ conjuntos contables.
Probar que $A\cup B$ es contable.
\item[ii)] Sea $(A_n)_{n\in\N}$ una familia de conjuntos contables. 
Probar que $\dps{\bigcup_{n\in\N}A_n}$ es contable.
\item[iii)] 
Sea ${\cal A}$ un conjunto finito y ${\cal S}=
\dps{\bigcup_{m\in\N}{\cal A}^m}$. Probar que $\sharp({\cal S})=\aleph_0$.
\par Deducir que, cualquiera sea el alfabeto utilizado, hay m\'as n\'umeros 
reales que palabras para nombrarlos. >Cu\'antos subconjuntos de $\N^2$ pueden ser definidos en un lenguaje fijo? > Cuántos hay en total?
\end{enumerate}


\ejer
Sean $A$ y $B$ conjuntos disjuntos, $A$ infinito y $B$ numerable. Probar que:
\begin{enumerate}
\item[i)] Existe una biyecci\'on entre $A \cup B$ y $A$.
\item[ii)] Si $A$ no es numerable y $B \subseteq A$, entonces 
existe una biyecci\'on entre $A - B$ y $A$.

>Es numerable el conjunto $\R-\Q$?
\end{enumerate}



\ejer 
Probar que el conjunto de todos los polinomios con coeficientes racionales 
es numerable.


\ejer 
Se dice que un n\'umero complejo $z$ es {\em algebraico} si existen enteros 
$a_0,\dots,a_n$ no todos nulos, tales que
$$a_0+a_1z+\dots+a_{n-1}z^{n-1}+a_nz^n=0.$$
\begin{enumerate}
\item[i)] Demostrar que el conjunto de todos los n\'umeros algebraicos es 
numerable.
\item[ii)] Deducir que existen n\'umeros reales que no son algebraicos.
\par{\sc Nota}: Estos n\'umeros se llaman {\em trascendentes}.
\end{enumerate}

\ejer 
Sea $X \subseteq \R_{>0}$ un conjunto de n\'umeros reales positivos. 
Supongamos que existe una constante positiva $C$ tal que
para cualquier subconjunto finito
$\{ x_1, \dots, x_n\}\subset X$ vale $\sum\limits_{i=1}^n x_i \le C$.
Probar que $X$ es contable.

\ejer %*
Sea $f:\R\longrightarrow\R$ una funci\'on mon\'otona. Probar que:
\begin{center}$\sharp\big(\{x\in\R \tq f \hbox{ no es continua en }x\}\big)
\leq\aleph_0$.
\end{center}

\ejer 
Probar que si $A$ es un conjunto numerable, el conjunto de las partes finitas
de $A$ (es decir, el subconjunto de ${\cal P}(A)$ formado por los 
subconjuntos
finitos de $A$) es numerable.



\ejer Hallar el cardinal de los siguientes conjuntos de sucesiones:
\begin{enumerate}
\item[i)] $\{(a_n) \tq a_n\in\N \hbox{ para todo } n\in\N\}$.
\item[ii)] $\{(a_n)\subset\N \tq a_n\leq a_{n+1} \hbox{ para todo } n\in\N\}$.
\item[iii)] $\{(a_n)\subset\N \tq a_n\geq a_{n+1} \hbox{ para todo } n\in\N\}$.
\item[iv)] $\{(q_n)\subset\Q \tq \dps\lim_{n\to \infty} q_n=0\}$.
\item[v)] $\{(q_n)\subset\Q \tq (q_n) \hbox{ es peri\'odica}\}$.
\item[vi)] $\{(a_n)\subset\N \tq 1\leq a_n\leq m \hbox{ para todo } n\in\N\}$
\qquad ($m\in\N$).
\end{enumerate}



\ejer Hallar el cardinal de los siguientes conjuntos:
\begin{enumerate}
\item[i)] $\{I \tq I \hbox{ es un intervalo de extremos racionales}\}$.
\item[ii)] $\{[a,b] \tq a,b\in\R\}$.
\item[iii)] $I$ , sabiendo que $\{A_i\}_{i\in I}\subset \R$ es una familia de intervalos 
disjuntos.
\item[iv)] $\{(x,y)\in\R^2 \tq 3x+2y\geq 7\}$.
\item[v)] $\R_{>0}$.
\end{enumerate}


\ejer
Probar que la uni\'on numerable de conjuntos de cardinal $c$ tiene cardinal
$c$.

\ejer Sean $a,b,c$ cardinales. Probar que:
\begin{enumerate}
\item[i)] $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$.
\item[ii)] $a^{b+c}=a^b\cdot ~a^c$.
\item[iii)] $(a^b)^c=a^{bc}$.
\item[iv)] $(ab)^c=a^c\cdot ~b^c$.
\item[v)] Si $b\leq c$, entonces $\ a^b\leq a^c$\quad y\quad $b^a\leq c^a$.
\end{enumerate}


\ejer 
Probar que 
$\ n^{\aleph_0}=\aleph_0^{\aleph_0}=c^{\aleph_0}=c\ $
cualquiera sea $n\in\N_{\geq2}$.


\ejer
Mostrar que $\R$ es uni\'on disjunta de $c$ conjuntos de cardinal $c$.


\ejer 
Se consideran los siguientes conjuntos de funciones:
$$\begin{array}{cclcccl}
{\cal F}(\R)&=&\{f \tq f:\R\longrightarrow\R\};& & 
%\hspace{2.25cm} 
{\cal F}(\Q)&=&\{f \tq f:\Q\longrightarrow\R\};\cr
{\cal C}(\R)&=&\{f\in{\cal F}(\R) \tq f \hbox{ es continua}\};& \qquad &
{\cal C}(\Q)&=&\{f\in{\cal F}(\Q) \tq f \hbox{ es continua}\}.
\end{array}$$
\begin{enumerate}
\item[i)] Probar que $\sharp({\cal F}(\R))>c$.
\item[ii)] Calcular $\sharp({\cal F}(\Q))$.
\item[iii)] Calcular $\sharp({\cal C}(\Q))$.
\item[iv)] Probar que la funci\'on $\phi:{\cal C}(\R)\longrightarrow{\cal C}(\Q)$ dada 
por $\phi(f)=f|_\Q$ es inyectiva. >Qu\'e significa esto?
\item[v)] Calcular $\sharp({\cal C}(\R))$.
\end{enumerate}

\ejer
Probar que el conjunto de partes numerables de $\R$ (es decir, el subconjunto
de ${\cal P}(\R)$ formado por todos los subconjuntos numerables de $\R$)
tiene cardinal $c$.

\newpage
\linea{C. Lema de Zorn y Axioma de Elecci\'on}

{\scriptsize{
 \begin{flushright}
  \textit{``Una de las implicancias del proyecto de Kroneker era que \'el consideraba una definici\'on aceptable}\\ 
  \textit{solo si pod\'{\i}a ser chequeado en un n\'umero finito de pasos si un n\'umero dado la cumpl\'{\i}a o no.}\\
  
 \textit{Este punto de vista lo llev\'o a una cr\'{\i}tica de las demostraciones de existencia "puras" (no constructivas).}\\
\textit{El sosten\'{\i}a que una prueba de existencia de un n\'umero solo pod\'{\i}a considerarse correcta si daba un m\'etodo para encontrarlo."}\\
  \textsc {Troestra y van Dalen.}
 \end{flushright}
}}

{\scriptsize{
 \begin{flushright}
  \textit{``Das ist nicht Mathematik. Das ist Theologie."}\\
  \textsc{P.Gordan} \textit{sobre el la demostración de} \textsc{D.Hilbert} \textit{de su teorema de la base.}
 \end{flushright}
}}


\ejer Sean $A,B \not= \emptyset$. Probar que o bien existe $f:A\to B$ inyectiva, o bien existe $g:B\to A$ inyectiva (es decir $\sharp A\leq \sharp B$ o $\sharp B\leq \sharp A$).

\ejer Sean $V$ un $\R$-espacio vectorial y $S\subseteq V$ un subespacio. Sea $T \! \! \! :S\to \R$ una transformaci\'on lineal. Probar que $T$ se puede extender a todo el espacio, es decir que existe $\widetilde{T} \! :V\to \R$ lineal tal que $\widetilde{T}|_{S}\equiv T$.

\ejer Probar que todo conjunto linealmente independiente se puede extender a una base.

\ejer Probar que de todo sistema de generadores se puede extraer una base.

\ejer Probar que existe una aplicaci\'on suryectiva $f:X\to Y$ si y s\'olo si existe \linebreak $g:Y\to X$ inyectiva (es decir que $\sharp X \geq \sharp Y$si y s\'olo si $\sharp Y\leq \sharp X$).

\ejer Probar que si $X$ es un conjunto infinito, entonces existe una aplicaci\'on inyectiva $f:\N\to X$. \textit{Sugerencia}: definir $f$ por medio de las f\'ormulas recursivas

$$\begin{array}{ccc}f(1) & = & e(X); \\f(n+1) & = & e(X-\{ f(1),...,f(n)\}).\end{array}$$

%\ejer Dado $x\in[0,1]$, notamos con $n(x)=$cantidad de `$3$' en el desarrollo 
%decimal --sin colas de $9$-- de $x$. Se define la funci\'on
%\[f(x)=\begin{cases}0 &\text{ si }n(x)=+\infty\\
%\dfrac1{n(x)}&\text{ si }n(x)\in\N
%\end{cases}\]
%\begin{enumerate}[{\bf a)}]
%\item >Es numerable el conjunto $A=\{x\in[0,1]\tq f(x)=0\}$?
%\item >Es cerrado el conjunto $B=\{x\in[0,1]\tq f(x)=1\}$?
%\item >Es abierto el conjunto $C=\{x\in[0,1]\tq f(x)\ne 0\}$? 
%\end{enumerate}


%\ejer \textsf{Funci\'on de Cantor}
%\par Si ${\mathcal C}$ indica el conjunto de Cantor, se llama {\bfs funci\'on de Cantor} 
%a la aplicaci\'on \linebreak $\Psi:[0,1]\longrightarrow[0,1]$ definida por
%\[\Psi(x)=\begin{cases}
%\dps{\sum_{i=0}^\infty} \Big(\frac{x_i}2\Big)~2^{-i} &\text{si } x\in{\mathcal C}\\
%\dps{\sum_{i<m(x)}}\Big(\frac{x_i}2\Big)~2^{-i}~+~\frac 1{2^{m(x)}} &\text{si } x\notinn
%{\mathcal C}\\
%\end{cases}\]
%donde $(x_i)_{i\geq 0}$ es un desarrollo de $x$ en base 3 y ---para cada 
%$x\notinn{\mathcal C}$--- $m(x)=\text{m\'\i n}\{i\in\N \tq x_i=1\}$. Probar:
%\begin{enumerate}[{\bf a)}]
%\item $\Psi|_{\mathcal C}:{\mathcal C}\longrightarrow[0,1]$ es suryectiva.
%\item $\Psi(0)=0$ \quad,\quad $\Psi(1)=1$ \quad y \quad $\Psi$ es creciente.
%\item $\Psi$ es continua.
%\par \textit{Sug.}: si $x_{n+1}\ne y_{n+1}$ y $x_i=y_i$ para todo $i<n$, entonces 
%$|\Psi(x)-\Psi(y)|<2^{-n}$.
%\item $\Psi|_{(a,b)}$ es constante para todo intervalo abierto $(a,b)$ disjunto con 
%${\mathcal C}$.
%\item $\Psi\Big([0,1]-{\mathcal C}\Big)$ es numerable.
%\end{enumerate}


\end{document}



