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\documentclass[a4paper, 11pt]{article}
\include{practicas}

\begin{document}

\encabezado {10}{Diferenciaci\'on}

{\scriptsize{
 \begin{flushright}
  \textit{``Pure mathematics is, in its way, the poetry of logical ideas."}\\
  \textsc{Albert Einstein}
 \end{flushright}
}}

{\scriptsize{
 \begin{flushright}
  \textit{``La inspiraci\'on es necesaria en geometr\'ia, tanto como en poes\'ia."}\\
  \textsc{Aleksandr Pushkin}
 \end{flushright}
}}

\linea{Diferenciaci\'on}

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\ejer Sea $f:\R\to\R$ una funci\'on derivable tal que $f'$ es acotada.
Probar que $f$ es uniformemente continua.


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\ejer Sea $f:(a,b)\to\R$ una funci\'on continua y derivable en
$(a,b)\setminus\{x_0\}$. Supongamos adem\'as que los l\'imites laterales
de~$f'$ en~$x_0$ existen y son finitos. Probar que:
\begin{enumerate}


\item[i)] $f$ es derivable lateralmente en~$x_0$. M\'as a\'un, si ambos l\'imites
laterales coinciden, entonces $f$ es derivable en~$x_0$; determine $f'(x_0)$
en ese caso.

\item[ii)] Los resultados de la parte anterior dejan de ser v\'alidos si se omite
la hip\'otesis de continuidad de~$f$ en~$x_0$.

\end{enumerate}

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\ejer Sean $\alpha<a<b<\beta$ y $f:[\alpha,\beta]\to\R$ una funci\'on
derivable en~$(\alpha,\beta)$ tal que $f'(a)\neq f'(b)$. Probar que:

\begin{enumerate}

\item[i)] Si $f'(a)<0<f'(b)$, entonces existe $c\in(a,b)$ tal que $f'(c)=0$.

\item[ii)] Si $\lambda\in\R$ es tal que $f'(a)<\lambda<f'(b)$, entonces existe
$d\in(a,b)$ tal que $f'(d)=\lambda$.

\item[iii)] Si $g:(-1,1)\to\R^2$ est\'a definida por
  $$  g(t) = \begin{cases} (t^2\hbox{sen}\frac{1}{t},t^2\cos\frac{1}{t}) & \text{si } 0<t<1, \cr
           (0,0) & \text{si } -1<t\leq0, \end{cases} $$
entonces $g$ es derivable en~$(-1,1)$ pero $g'((-1,1))$ no es conexo.
\end{enumerate}


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\ejer Sea $A\subseteq\R^n$ un abierto no vac\'io y sea $f:A\to\R^n$. Probar que si $f$
es diferenciable en~$x_0$, entonces existen $\delta>0$ y $c\geq0$ tales que
$B(x_0,\delta)\subseteq A$ y $\|f(x)-f(x_0)\|\leq c\|x-x_0\|$ para
todo $x\in B(x_0,\delta)$.

\eject

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\ejer Sean $x_1$,~$x_2\in\R^n$ y sea $A\subseteq\R^n$ un abierto que
contiene al segmento $S$ que une $x_1$ y $x_2$. Mostrar que:
\begin{enumerate}
 
\item[i)] Si $f:A\to\R$ una funci\'on diferenciable, entonces existe $x$ en el
segmento~$S$ tal que $f(x_1)-f(x_2)=Df(x)(x_1-x_2)$.

\item[ii)] Sin embargo, esto es falso para una funci\'on $f:A\to\R^m$.

\item[iii)]\label{eq:loc} Si $f:A\to\R^m$ es una funci\'on diferenciable tal que
$\|{Df(x)}\|\leq M$ para todo $x\in A$, entonces $\|{f(x_1)-f(x_2)}\|\leq
M\|{x_1-x_2}\|$.

\end{enumerate}


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\ejer\label{ej:loc0} Sea $A\subseteq\R^n$ un abierto conexo y sea
$f:A\to\R^m$ una funci\'on diferenciable. Probar que si $Df(x)=0$ para todo $x\in A$,
entonces $f$ es constante en~$A$.


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\ejer Sea $A\subseteq\R^n$ un abierto conexo y sea $f:A\to\R^m$ una
funci\'on tal que 
  \[
  \|{f(x)-f(y)}\|\leq\|{x-y}\|^2
  \]
para cada par de puntos $x$,~$y\in A$. Probar que $f$ es constante.


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\ejer Probar que una funci\'on $f:A\to\R$ definida en un abierto de~$\R^n$ y con
derivadas parciales acotadas es continua.


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\linea{Teoremas de la Funci\'on Inversa y de la Funci\'on Impl\'icita}

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\ejer Sea $f:\R\to\R$ la funci\'on tal que
  $$  f(t) = \begin{cases}      t+2t^2\hbox{sen}\frac{1}{t} & \text{si } t\neq0, \cr
        							0 & \text{si } t=0.\end{cases}$$
Probar que $f'(0)=1$ y $f'$ es acotada en~$(-1,1)$, pero sin embargo $f$ no
es biyectiva en ning\'un entorno de~$0$. 
En particular, la continuidad de~$f'$ en el punto es necesaria en el
teorema de la funci\'on inversa.


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\ejer Sea $f:\R^2\to\R^2$ la funci\'on tal que $f(x,y)=(e^x\cos y,e^x\sin
y)$. Probar que:
\begin{enumerate}

\item[i)] $f$ no es inyectiva.

\item[ii)] El jacobiano de~$f$ es no nulo en todo punto de~$\R^2$, de manera
que $f$ es localmente inyectiva.

\end{enumerate}


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\ejer Sea $U$ un abierto de~$\R^n$ y sea $f:U\to\R^n$ de clase~$C^1$ con
jacobiano no nulo en todo~$U$. Probar que:
\begin{enumerate}

\item[i)] $f$ es abierta.

\item[ii)] Para cada $y\in\R^n$ el conjunto $f^{-1}(y)$ es discreto en~$U$.

\end{enumerate}


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\ejer Sea $F:\R^2\to\R$ una funci\'on tal que $(1,2,0)$ es soluci\'on de la
\linebreak ecuaci\'on $f(xz,y-2x)=0$.
\begin{enumerate}

\item[i)] Determinar condiciones suficientes para que existan un entorno
$W\subseteq\R^2$ de $(1,0)$ y una funci\'on $\phi:W\to\R$ de clase~$C^1$
tales que $\phi(1,0)=2$ y 
  $$
  F(xz,\phi(x,z)-2x)=0 \hbox{ para todo }(x,z)\in W.
  %F(xz,\phi(x,z)-2x)=0 \text{ para todo } (x,z)\in W.%\;para\;todo\;
  $$

\item[ii)] Mostrar que 
  $$
  x\frac{\partial \phi}{\partial x}(x,z)-y\frac{\partial\phi}{\partial z}(x,z)=2x\hbox{ en }~W.
  %x\frac{\partial\phi}{\partial x}(x,z)-y\frac{\partial\phi}{\partial z}(x,z)=2x\;en\;~W.
  $$

\end{enumerate}

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\ejer Mostrar que el sistema de ecuaciones
  $$\begin{cases}   x^2+ \hbox{sen}x-y^2+z^3=0, \cr
   -\log(1+x)+y^2z=1,\end{cases}$$
define dos funciones $y=y(x)$ y $z=z(x)$ en un entorno del punto $(0,1,1)$.
Sean $C\subseteq\R^2$ la curva que define el sistema de ecuaciones
considerado, dada en forma param\'etrica por \linebreak $\alpha(x)=(x,y(x),z(x))$, y la
funci\'on $g(x,y,z)=2xyz+z\tan x$. Calcular la derivada direccional de~$g$
en~$(0,1,1)$ seg\'un el vector tangente a~$\alpha$ en el punto $x=0$.


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\end{document}
