\documentclass[a4paper, 11pt]{article}
\include{practicas}

\begin{document}

\encabezado{6}{Conexi\'on, Baire}

{\scriptsize{
 \begin{flushright}
  \textit{``Cuanto m\'as s\'olido, bien definido y espl\'endido es el edificio erigido por el entendimiento,}\\ 
  \textit{m\'as imperioso es el deseo de la vida por escapar de \'el hacia la libertad."}\\
  \textsc {Hegel.}
 \end{flushright}
}}

\linea{Conexi\'on}

%%%%% 17
\ejer
Decidir cu\'ales de los siguientes subconjuntos son conexos:

\ms
\qquad $\{x\in\R^2\tq 0<|x|<2\};\qquad\qquad \N;\qquad\qquad  [0,1);\qquad\qquad  
\Q;\qquad\qquad  \{\frac1n\tq n\in\N\};$

\ms
\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad $B(a,\epsilon)$ $(\epsilon>0)$ en un espacio m\'etrico $(X,d)$.

%%%%% 18
\ejer
\begin{enumerate}
\item[i)] Dar ejemplos de conjuntos conexos $A,B\subset\R^n$ tales que $A\cup B$ no 
sea conexo. Idem para \ $A\cap B$ \ y \ $A-B$.

\item[ii)] Sea $C\subset\R^n$ conexo y sea $x$ un punto de acumulaci\'on de $C$.
Probar que $C\cup\{x\}$ es conexo.  

\item[iii)] Determinar la validez de las siguientes afirmaciones:
\begin{enumerate}
\item Si $C$ es conexo, entonces $C^\circ$ es conexo.
\item Si $C$ es conexo, entonces $\overline C$ es conexo.
\end{enumerate}
\end{enumerate}


%\eject
%%%%% 21
\ejer
Sea $(X,d)$ un espacio m\'etrico y sea $C\subset X$. Probar que son 
equivalentes:
\begin{enumerate}
\item no existen $U,V$ abiertos en $C$, no vac\'\i os y disjuntos tales
que $C=U\cup V$;
\item no existen ${\cal U}$, ${\cal V}$ abiertos en $X$ y disjuntos,
de modo que 
$C\cap {\cal U}\ne \emptyset$, $C\cap{\cal V}\ne\emptyset$ y 
$C\subset{\cal U}\cup{\cal V}$;
\item si $A\subset C$ es no vac\'\i o y abierto y cerrado en $C$, 
entonces $A=C$.
\end{enumerate}

%%%%% 25
\ejer
Sea $(X,d)$ un espacio m\'etrico y sea ${\cal A}$ una familia de 
conjuntos conexos de $X$ tal que para cada par de conjuntos
$A,B\in{\cal A}$ existen $A_0,\dots,A_n\in{\cal A}$ que satisfacen $A_0=A$, 
$A_n=B$ y $A_i\cap A_{i+1}\ne\emptyset$ para cada $i=0,\dots,n-1$. 
Probar que $\bigcup\limits_{A\in {\cal A}} A$ es conexo.

%\eject
%%%% 13
\ejer
Sea $f:\R\longrightarrow\Z$ continua. Probar que $f$ es constante.

%%%% 15
\ejer
Probar que un espacio m\'etrico $(X,d)$ es conexo si y s\'olo si toda 
funci\'on continua $f: X \longrightarrow \{0,1\}$ es constante.

\ejer
Probar que si $n\ge 2 $ no existe un homeomorfismo entre $\R$ y $\R^n$.

\eject
%%%% 29
\ejer
\begin{enumerate}
\item[i)] Probar que si $f:[0,1]\longrightarrow[0,1]$ es continua y 
suryectiva, existe $x_0\in[0,1]$ tal que $f(x_0)=x_0$.
\item[ii)] Sea $(X,d)$ un espacio m\'etrico conexo y sea 
$f:X\longrightarrow\R$ una funci\'on continua. Sean $a,b\in f(X)$ tales que 
$a\leq b$. Probar que para todo $c\in[a,b]$ existe $x\in X$ tal que $f(x)=c$.
>Vale la rec\'\i proca?
\item[iii)] Probar que si $(X,d)$ es conexo, entonces $\sharp X=1$ o 
$\sharp X\geq c$.    
\end{enumerate}

\ejer
Hallar las componentes conexas de los siguientes subconjuntos de $\R$ y de 
$\R^2$\par
$$\begin{array}{lcl}
\hbox{i) }{\rm arcsen}([\frac{\sqrt 2}2,1]). & \qquad\qquad\qquad & 
\hbox{iii) } B((-1,0),1)\cup B((1,0),1). \cr
& \cr
\hbox{ii) } \Q. &\qquad\qquad\qquad
& \hbox{iv) } B((-1,0),1)\cup B((1,0),1)\cup\{(0,0)\}.\cr 
\end{array}$$


%%%%% 24
\ejer
Para cada $n\in\N$, sea $A_n=\{\frac1n\}\times[0,1]$, y sea
$X=\bigcup\limits_{n\in \N} A_n\cup\{(0,0),(0,1)\}$. Probar que:
\begin{enumerate}
\item[i)] $\{(0,0)\}$ y $\{(0,1)\}$ son componentes conexas de $X$.
\item[ii)] Si $B\subset X$ es abierto y cerrado en $X$, entonces
$\{(0,0)\/,\/(0,1)\}\subset B$ o 
$\{(0,0)\/,\/(0,1)\}\cap B=\emptyset$.
\end{enumerate} 


%%%%% 26
\ejer
Sea $(X,d)$ un espacio m\'etrico. Probar que las componentes conexas de 
$X$ son conjuntos cerrados. �Son abiertos?

%\eject
%%%%% 28
\ejer
Probar que los siguientes conjuntos son totalmente disconexos:
\begin{enumerate}
\item[i)] Un espacio m\'etrico discreto con cardinal mayor o igual que 2.
\item[ii)] $\Q$.
\item[iii)] El conjunto de Cantor.
\end{enumerate}    

\linea{Arco-Conexi\'on}

%%%% 16
\ejer
Sea $(X, d)$ un espacio m\'etrico. Un conjunto $A \subset X$ se dice 
{\em arcoconexo} (o {\em conexo por arcos})
si para todo par de puntos $a, b \in A$ existe una funci\'on continua 
$f : [0,1] \to X$ tal que $f(0) = a $ y $f(1) = b$.
\begin{enumerate}
\item[i)] Probar que todo conjunto arcoconexo es conexo.
\item[ii)] Exhibir un ejemplo de un conjunto conexo que no sea arcoconexo.
\end{enumerate}

\eject

%%%% 17
\ejer
Decidir cu\'ales de los siguientes conjuntos son arcoconexos:
\begin{enumerate}
\item[i)] $\{(x,y,z)\in\R^3\tq z=f(x,y)\}$ donde $f:\R^2\longrightarrow\R$ 
es una funci\'on continua.
\item[ii)] $B(0,1)\subset \R^n$, $\R^n-B(0,1)$.
\item[iii)] $\R^2-\{(x,0)\tq x\in\R\}$.
\item[iv)] $\R^2-\{(0,0)\}$.
\end{enumerate}



%%%% 20
\ejer
Sean $(X,d)$ un espacio m\'etrico arcoconexo, $(Y,d')$ un espacio 
m\'etrico y \linebreak $f:X\longrightarrow Y$ una funci\'on continua. 
Probar que el conjunto $f(X)$ es arcoconexo.


%%%% 18
%\ejer
%Sea  $(X,d)$ un espacio m\'etrico. Se define la siguiente relaci\'on:
%$$a\sim b\quad\Longleftrightarrow\quad \hbox{Existe }
%c:[0,1]\longrightarrow X \hbox{ continua, tal que }\ c(0)=a\ , \ c(1)=b\]
%\begin{enumerate}
%\item[i)] Probar que $\sim$ es una relaci\'on de equivalencia en $X$.
%\item[ii)] Sea $C_a=\{x\in X\tq a\sim x\}$. Verificar que:
%\begin{enumerate}
%\item Si $a\sim b$ entonces $C_a=C_b$
%\item Si $a\not\sim b$ entonces $C_a\cap C_b=\emptyset$
%\item $X=\bigcup_{a \in A} C_a$
%\end{enumerate}
%{\sc Nota}: $C_a$ se llama {\em componente arcoconexa} de $X$
%\item[iii)] Mostrar que $X$ es arcoconexo si y s\'olo si tiene una \'unica 
%componente arcoconexa.
%\end{enumerate}

%%%% 19
\ejer
Un espacio m\'etrico $(X,d)$ se dice {\em localmente conexo} 
(resp. {\em localmente arcoconexo}) si para todo $x\in X$ y para todo 
$U\subset X$ entorno de $x$, existe un entorno conexo (resp. arcoconexo) $V$ 
de $x$ tal que 
$x\in V\subset U$. Probar que:
\begin{enumerate}
\item[i)] Si $A\subset\R^n$ es abierto, entonces \ 
$A \hbox{ es conexo}\quad\Longleftrightarrow\quad A \hbox{ es arcoconexo}$.
\item[ii)] Un espacio m\'etrico es localmente conexo si y s\'olo si las 
componentes conexas de los abiertos son abiertas.
\item[iii)] Todo espacio m\'etrico conexo y localmente arcoconexo es arcoconexo.
\item[iv)] En un espacio m\'etrico localmente arcoconexo todo conjunto 
abierto y conexo es arcoconexo.
\item[v)] Las componentes arcoconexas de un espacio localmente arcoconexo son 
abiertas.
\end{enumerate}

\ejer En el espacio $(C[0,1],d_\infty)$ se considera el conjunto$$ U= \{ f\in C[0,1] : f(x)\neq 0 \; \forall \; x\in [0,1] \}.$$ Probar que $U$ es abierto y hallar sus componentes conexas.

\linea{Baire}

\ejer 
Probar que $\R^n$ no puede escribirse como uni\'on numerable de subespacios
vectoriales propios.

\ejer 
Sean $(X, d)$ un espacio m\'etrico completo sin puntos aislados y sea
$D$ un subconjunto denso y numerable de $X$. Probar que $D$ no es un 
$G_\delta$.

\ejer
Demostrar que no existe ninguna funci\'on $f: \R \longrightarrow \R$ que sea 
continua s\'olo en los racionales.

{\sl Sugerencia:} Para cada $n\in \N$ considerar
$$U_n = \Big\{ x\in \R \tq \exists\, U\subseteq \R \hbox{ abierto con } 
x\in U \hbox{ y } {\rm diam}(f(U))<\frac1n \Big\}.$$

\eject

\ejer
Sea $(I_n)_{n\in \N}$ la sucesi\'on de intervalos de $[0,1]$ con extremos
racionales y para cada $n\in \N$ sea
$$E_n = \{ f \in C[0, 1] \tq f \hbox{ es mon\'otona en } I_n \}.$$
\begin{enumerate}
\item[i)] Probar que para cada $n\in \N$, $E_n$ es cerrado y nunca denso 
en $(C[0,1], d_\infty)$.
\item[ii)] Deducir que existen funciones continuas en el intervalo $[0, 1]$ 
que no son mon\'otonas en ning\'un subintervalo.
\end{enumerate}

\ejer Sea $(X,d)$ espacio m\'etrico. Se dice que un conjunto $A\subset X$ es {\it nunca denso} si $\overline{A}^{\circ}=\emptyset$.
\begin{enumerate}
\item Probar que si $A$ es nunca denso, entonces $X-A$ es denso. >Vale el rec\'{\i}proco?
\item Probar que si $A$ es abierto y denso, entonces $X-A$ es nunca denso.
\end{enumerate}


\ejer Sea $(X,d) $ espacio m\'etrico y $A\subset X$. Probar que son equivalentes:
\begin{enumerate}
\item $A$ es nunca denso;
\item toda bola $B$ abierta contiene otra $B_1\subset B$ abierta tal que $B_1 \cap A = \emptyset $;
\item $A$ no es denso en ninguna bola abierta.
\end{enumerate}


\ejer Sea $Lip[a,b]=\{ f\in C[a,b]/\ \exists k>0,\ |f(x)-f(y)|\le k|x-y|\}$. Probar que $Lip[a,b]^{\circ}=\emptyset$ en $C[a,b]$.


\ejer Probar que, si $A$ es el conjunto de funciones continuas que tienen alg\'un intervalo de monoton\'{\i}a, entonces $A$ tiene interior vac\'{\i}o en $C[a,b]$.


\end{document}