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\newtheorem{ejer}{Ejercicio}

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\def\iint{\int\hskip -7pt\int}


\begin{document}
\thispagestyle{empty}

\centerline{{\small Universidad de Buenos Aires - Facultad de
Ciencias Exactas y Naturales - Depto. de Matem\'atica}}

\vskip 0.2cm

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\vskip 0.2cm
\centerline{{\bf\Huge {\sc Optimizaci\'on }}}
\vskip 0.2cm
\centerline{{\ttfamily Primer Cuatrimestre 2018}}
\hrulefill

\bigskip

\centerline{\bf  Trabajo Pr\'actico N$^\circ$ 2: M\'etodos de descenso.}
\bigskip



\medskip

\noindent{\bf Braquistocrona:}


Considerar el problema de la \emph{braquistocrona} que consiste en hallar la curva que minimiza el tiempo de ca\'ida de una part\'icula por efecto de la gravedad. Concretamente, buscamos una funci\'on $\varphi:[0,1]\to[0,1]$ tal que $\varphi(0)=1$, $\varphi(1)=0$ tal que minimice el funcional:
$$T(\varphi) = \int_0^1 \sqrt{\frac{1+\varphi'(x)^2}{2g(1-\varphi(x))}}dx,$$
donde $g$ es la aceleraci\'on gravitatoria. Para resolver este problema se realiza una discretizaci\'on en la variable $x$: $0=x_0<x_1<\dots<x_n<x_{n+1}=1$ y una discretizaci\'on en $\varphi$: $1=\varphi_0>\varphi_1>\dots>\varphi_n>\varphi_{n+1}=0$, de manera tal que $\varphi_i$ ser\'a la aproximaci\'on de $\varphi(x_i)$. Por comodidad, asumiremos que la discretizaci\'on en $\varphi$ est\'a fijada de antemano (por ejemplo: $\varphi_{i+1}-\varphi_i = \frac{1}{n+1}$), y que las $x_i$ son las variables cuyo valor debe optimizarse.
\begin{itemize}
 \item[a)] Probar que si se asume que $\varphi$ es lineal en los intervalos de la discretizaci\'on, el funcional $T$ puede escribirse:
 $$\widetilde{T}= \sqrt{\frac{2}{g}} \sum_{i=0}^n\sqrt{1+\Big(\frac{x_{i+1}-x_i}{\varphi_{i+1}-\varphi_i}\Big)^2}\Big(\sqrt{1-\varphi_{i+1}}-\sqrt{1-\varphi_i}\Big).$$
 \item[b)] Calcular anal\'iticamente el gradiente de la expresi\'on anterior de $\widetilde{T}$.
 \item[c)] Implementar funciones que reciban como input el n\'umero $n$ de inc\'ognitas de la discretizaci\'on y devuelvan el funcional $\widetilde{T}$ y su gradiente.
 \item[d)] Calcular la curva braquistocrona minimizando el funcional $\widetilde{T}$ a trav\'es de los distintos m\'etodos estudiados hasta el momento: m\'etodo de Newton y m\'etodo del gradiente con b\'usqueda lineal, por la raz\'on de oro, utilizando la condici\'on de Armijo y la condici\'on de Wolfe. Comparar los resultados.
\end{itemize}


\end{document}
