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Departamento de Matematica

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Ecuaciones Polinomiales y Algoritmos

Primer Cuatrimestre de 2018

Novedades

  • El lunes 16/04 comienzan las encuestas de INICIO del 1er. cuatrimestre 2018.
  • El día 19 de abril la teórica y práctica intercambian los horarios (Teórica de 13 a 15hs y práctica de 15 a 17hs.)
  • Está abierta la inscripción a la materia. Pueden inscribirse a través del Sistema de inscripciones (SIU Guaraní).
  • Las clases comienzan en la semana del 19 de marzo.
  • Horarios confirmados de la materia:
    • Teoórica: lunes y jueves de 15 a 17hs, Lu: Aula 10 Pab.1, Ju: Aula 11 Pab.1
    • Práctica: jueves de 13 a 15hs, Aula 11 Pab. 1

Programa

  • Polinomios en una variable con coeficientes en un cuerpo: Máximo común divisor y factorización única (Repaso). Raı́ces en R[X]: Algoritmos de Descartes y Sturm para determinar el número de raı́ces reales. Equivalencia de las factorizaciones en Q[X] y Z[X]: Polinomios primitivos, Lema de Gauss, Criterio de Eisenstein. El algoritmo de Kronecker de factorización en Q[X].
  • Polinomios en varias variables: Factorización Unica. Polinomios irreducibles. Especialización y polinomios nulos.
  • Ideales de K[X1, ..., Xn]: Ideales monomiales y el Lema de Dickson. Ordenes monomiales. Teorema de la base de Hilbert (Noetherianidad). Algoritmo de división de Hironaka en K[X1, ..., Xn].
  • Bases de Gröbner: Definición, equivalencias y propiedades. Algoritmo de Buchberger de construcción de una base de Gröbner. Aplicación a los problemas de pertenencia de un polinomio a un ideal y representación. Comparación con el punto de vista clásico. El teorema de Eliminación. Operaciones con ideales y bases de Gröbner.
  • Variedades en K^n : Las correspondencias I -> V_K(I) y V -> I_K(V). El radical de un ideal e ideales radicales. Proyecciones de variedades e ideales de eliminación.
  • La correspondencia recı́proca "ideal radical de C[X1, ..., Xn] – variedad de ceros en C^n": La Resultante de dos polinomios en una variable. El Discriminante. El teorema de Extensión. El Nullstellensatz. Equivalencias. La correspondencia. La clausura de Zariski de la proyección de una variedad.
  • Ideales cero-dimensionales: Sistemas con finitas soluciones en C^n . Ideales cero-dimensionales radicales. Cocientes de anillos polinomiales. Ideales cero-dimensionales y la dimensión del espacio vectorial cociente.
  • Descomposición primaria de un ideal: Ideales irreducibles y primarios. Ideales cociente. Descomposición primaria. Componentes aisladas e inmersas. Unicidad de los primos asociados y de las componentes aisladas. Algoritmos para el cálculo de la descomposición primaria de un ideal cero-dimensional (caso racional y caso general)

Docentes, horarios y aulas

Teórica
Teresa Krick Lunes 15-17hs Aula 10, Pab. 1
Jueves 15-17hs Aula 11, Pab. 1
Práctica
Santiago Laplagne Jueves 13-15 Hs
Aula 11, Pab. 1

 

Correlatividades

Para poder cursar esta materia es necesario tener aprobado el final de Álgebra Lineal.

 

Régimen de aprobación

Se debe aprobar un prefinal y un final. Para poder ser incluído en las actas de trabajos prácticos, es necesario haberse inscripto en la materia mediante el sistema de inscripciones de la facultad, y haber completado la encuesta final de evaluación docente.

 

Prácticas

  • Práctica 1 - Raíces y factorización en R[x], Q[x] y Z[x]
  • Práctica 2 - Polinomios en K[x1, ..., xn]
  • Práctica 3 - Ideales, órdenes monomiales y algoritmo de división en K[x1, ..., xn]
  • Práctica 4 - Bases de Gröbner y primeras aplicaciones
  • Práctica 5 - Variedades de K^n, ideales de variedades e ideales radicales

Prácticas 2008: Práctica 1, Práctica 2, Práctica 3, Práctica 4, Práctica 5, Práctica 6, Práctica 7, Práctica 8

Prácticas Singular

Bibliografía

  • Adams W., Loustaunau P. : An introduction to Gr¨obner Bases. Graduate Studies in Mathematics, AMS, 1994.
  • Akritas A. : Elements of Computer Algebra with applications. Wiley&Sons, 1989.
  • Becker T. - Weispfenning V. : Gr¨obner bases. A computational Approach to Commutative Algebra. Springer-Verlag, 1993.
  • Cox D. - Little J. - O’Shea D. : Ideals , Varieties and Algorithms : An introduction to Computational Algebraic Geometry and Commutative Algebra. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, 1992.
  • Cox D. - Little J. - O’Shea D. : Using Algebraic Geometry. Graduate Texts in Mathematics. SpringerVerlag, 1998.
  • von zur Gathen J. - Gerhard J. : Modern Computer Algebra. Cambridge University Press, 1999.
  • Geddes K. - Czapor S. - Labahn G. : Algorithms for Computer Algebra. Kluwer Academic Publishers, 1992.
  • Greuel G-M. - Pfister G. : A Singular introduction to Commutative Algebra. Springer-Verlag, 2000.
  • Lejeune-Jalabert M. : Effectivit´e des Calculs Polynomiaux. Cours de DEA. Institut Fourier, Univ. Grenoble 1, 1986.
  • Mignotte M. : Mathématiques pour le Calcul Formel. Presses Universitaires Fran¸caises, 1986.
  • Mignotte M., Stefanescu D. : Polynomials, An Algorithmic Approach. Springer-Verlag, 1999.
  • Mishra, B. : Algorithmic Algebra. Springer-Verlag, 1993.
  • Van der Waerden, B.L. : Modern Algebra. Ungar Publishing Co., New York, 1969.

Importante

Se recuerda que es obligatoria la lectura de las normas de higiene y seguridad.

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Last modified 2018-05-17 11:32 AM
 
 

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