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\overfullrule5pt

\Materia{Álgebra II}
\Cuatrimestre{Primer Cuatrimestre --- 2017}
\Practica{8}
\Titulo{Módulos finitamente generados sobre un DIP}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Abreviaturas
\newcommand\CC{\mathbb{C}}
\newcommand\RR{\mathbb{R}}
\newcommand\QQ{\mathbb{Q}}
\newcommand\ZZ{\mathbb{Z}}
\newcommand\NN{\mathbb{N}}
\newcommand\FF{\mathbb{F}}
\newcommand\HH{\mathbb{H}}
\newcommand\GG{\mathbb{G}}
\newcommand\II{\mathbb{I}}

\newcommand\ot{\otimes}
\newcommand\Grp{\mathrm{Grp}}
\newcommand\op{\mathrm{op}}
\newcommand\id{\mathsf{id}}
\newcommand\Id{\mathsf{Id}}
\newcommand\Z{\mathsf{Z}}
\newcommand\N{\mathsf{N}}
\newcommand\M{\mathsf{M}}
\newcommand\C{\mathsf{C}}
\renewcommand\O{\mathcal{O}}
\renewcommand\S[1]{[\![#1]\!]}
\newcommand\eps{\varepsilon}
\newcommand\abs[1]{\lvert#1\rvert}
\newcommand\absx[1]{\left\lvert#1\right\rvert}
\newcommand\gen[1]{\left\langle#1\right\rangle}
\newcommand\gens[1]{\langle#1\rangle}
\newcommand\divides{\mid}
\newcommand\notdivides{\nmid}
\renewcommand\emptyset{\varnothing}
\def\dash---{\thinspace---\hskip.16667em\relax}
\renewcommand\a{\mathfrak{a}}
\newcommand\p{\mathfrak{p}}
\newcommand\q{\mathfrak{q}}
\newcommand\m{\mathfrak{m}}

\DeclareMathOperator{\GL}{GL}
\DeclareMathOperator{\AGL}{AGL}
\DeclareMathOperator{\SL}{SL}
\DeclareMathOperator{\End}{End}
\DeclareMathOperator{\Aut}{Aut}
\DeclareMathOperator{\Inn}{Inn}
\DeclareMathOperator{\Out}{Out}
\DeclareMathOperator{\im}{im}
\DeclareMathOperator{\Spec}{Spec\;}
\DeclareMathOperator{\nil}{nil}
\DeclareMathOperator{\ann}{ann}
\DeclareMathOperator{\cl}{cl}
\DeclareMathOperator{\charact}{char}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% proclaiming things
\theoremseparator{.}
\newtheorem*{Definicion}{Definición}
\theoremindent\parindent
\newtheorem*{Teorema}{Teorema}
\newtheorem*{Proposicion}{Proposición}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\maketitle

\begin{ejercicios}

%%%%%%%%%%
%\item  Mostrar que $\ZZ[\sqrt{10}]$ y $\ZZ[\sqrt{-10}]$ no son dominios de
%factorización única. Encontrar ideales no principales en estos anillos.

%%%%%%%%%%
%\item\begin{ejitems}
%\item Mostrar que $\ZZ[\sqrt d]$ es euclideano si $d\in\{-2,2,3\}$.
%del anillo $\ZZ[\sqrt 2]$.
%\item Un número primo $p\in\ZZ$ es irreducible en $\ZZ[\sqrt{-2}]$ sii $-2$
%es un cuadrado en $\ZZ_p$. Dé ejemplos de factorizaciones en
%$\ZZ[\sqrt{-2}]$ de números primos de~$\ZZ$.
%\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
%\item Sea $p\in\NN$ un número primo, $\p=(p)$ el ideal primo
%todos sus ideales. Mostrar que $\ZZ_\p$ es un dominio de ideales
%principales con un único ideal maximal y encontrar un conjunto completo de
%elementos primos no asociados dos a dos.

%%%%%%%%%%%%
\item Clasificar a menos de isomorfismo los grupos abelianos de orden $18$, $45$, $100$ y $180$.

%%%%%%%%%%
\item Sean $A$ un dominio de ideales principales y $M$ un $A$-módulo
finitamente generado. Mostrar que:
\begin{ejitems}
\item $M$ es de torsión sii $\hom_A(M,A)=0$; y
\item $M$ es indescomponible sii o bien $M\cong A$ o bien existen $p\in A$
irreducible y $n\in\NN$ tales que $M\cong A/\langle p^n\rangle$.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
\item Sea $p\in\NN$ un número primo. Encontrar todos los grupos abelianos
de orden $p^2$, $p^3$, $p^4$ y $p^5$.

%%%%%%%%%%
\item Sean $G$ un grupo abeliano finito y $p\in\NN$ un número primo que divide al orden de $G$. Probar que el número de elementos de orden~$p$ de $G$ es
coprimo con $p$.

%%%%%%%%%%
\item\begin{ejitems}
\item Hallar los factores invariantes de los siguientes grupos abelianos:
\begin{ejitems}
\item $\ZZ_4\oplus \ZZ_6\oplus \ZZ_9$;
\item $\ZZ_2\oplus \ZZ_2\oplus \ZZ_8\oplus \ZZ_{14}$;
\item $\ZZ_2\oplus \ZZ\oplus \ZZ_{49}\oplus \ZZ$;
\item $\ZZ_{12}\oplus \ZZ_{21}\oplus \ZZ\oplus \ZZ\oplus \ZZ_{20}\oplus \ZZ_9\oplus \ZZ_7$.
\end{ejitems}
\item Hallar los factores invariantes de un grupo abeliano~$G$ de
orden~$36$ que tiene exactamente $2$~elementos de orden $3$ y que no tiene
elementos de orden~$4$.
\item Hallar los factores invariantes de un grupo abeliano~$G$ de
orden~$225$ que tiene por lo menos $40$ elementos de orden~$15$ y tal que
todo subgrupo de orden~$9$ es isomorfo a $\ZZ_3\oplus\ZZ_3$.
\end{ejitems}

\item Determinar los factores invariantes de los siguientes grupos abelianos dados por generadores y relaciones:
\begin{ejitems}
\item $G=\langle a,b,c\rangle$; \ \ $2a+3b=0$, \ $2a+4c=0$.
\item $G=\langle a,b,c\rangle$; \ \ $a=3b$, \ $a=3c$.
\item $G=\langle a,b,c\rangle$; \ \ $3a=-c$, \ $3a=3c-8b$.
\item $G=\langle a,b,c\rangle$; \ \ $3a=b$, \ $b=3c$.
\end{ejitems}

\item Hallar los factores invariantes de los siguientes cocientes:
\begin{ejitems}
\item $\ZZ^4/S$, con $S=\{x\in \ZZ^4 \ : x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 0 , \ x_1 + x_2 - 2x_3 = 0\}$.
\item $\ZZ^3/S$, con $S=\{x\in \ZZ^3 \ : x_1 $ es par$ , \ x_1 + 5x_2 - x_3 = 0\}$.
\item $\ZZ^3/S$, con $S=\{x\in \ZZ^3 \ : x_1 = x_2 + x_3 $ es par$, \  3\mid x_3\}$.
\end{ejitems}

\item Sean $p,q,r$ primos distintos. Determinar la cantidad de grupos no isomorfos de orden $n$ en cada caso:
\begin{ejitems}
\item $n=p^6q^3r$.
\item $n=p^2q^4r^5$.
\item $n=p^3q^4$.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
\item Sea $G\subseteq\ZZ^n$ un subgrupo.
\begin{ejitems}
\item Probar que $[\ZZ^n:G]$ es finito sii $G$ tiene rango~$n$.
\item Si $G$ tiene rango~$n$ y $\{g_1,\dots,d_n\}$ es una base de~$G$, sea
$M\in\M_n(\ZZ)$ la matriz que tiene a los $g_i$ como columnas. Mostrar que
$[\ZZ^n:G]=\abs{\det M}$.
\end{ejitems}

\item Probar que dos matrices de $3\times 3$ con coeficientes en un cuerpo $k$ son semejantes sii tienen el mismo polinomio característico y el mismo polinomio minimal. Mostrar con un ejemplo que no vale la afirmación análoga para matrices de $4\times 4$.

\item Hallar la forma racional de $\left(\begin{array}{ccc}0&-1&-1\\0&0&0\\-1&0&0\end{array}\right)\in\M_3(\QQ)$.

%%%%%%%%%%%%
\item Sean $A= \RR[x]/\langle (x^2+1)^2\rangle$ y $J=\langle x^2+1\rangle\leq A$. Probar que todo $A$--módulo finitamente generado es isomorfo a $A^m\oplus (A/J)^n$ para un único par de enteros no negativos $(m,n)$.



\end{ejercicios}


\end{document}