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}


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\Materia{Álgebra II}
\Cuatrimestre{Primer Cuatrimestre --- 2017}
\Practica{6}
\Titulo{Módulos}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Abreviaturas
\newcommand\CC{\mathbb{C}}
\newcommand\RR{\mathbb{R}}
\newcommand\QQ{\mathbb{Q}}
\newcommand\ZZ{\mathbb{Z}}
\newcommand\NN{\mathbb{N}}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% proclaiming things
\theoremseparator{.}
\newtheorem*{Definicion}{Definición}
\theoremindent\parindent
\newtheorem*{Teorema}{Teorema}
\newtheorem*{Proposicion}{Proposición}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\maketitle

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Módulos y morfismos}

\begin{ejercicios}

%%%%%%%%%%
\item Sean $A$ un anillo, $n\geq1$ y $M\in A^{m\times n}$. Mostrar que la multiplicación
matricial da un morfismo de $A$-módulos (a derecha):
  \[
  f:x\in A^n\mapsto Mx\in A^m
  \]

%%%%%%%%%%
%\item Sea $A$ un anillo.
%\begin{ejitems}
%\item Sea $M$ un $A$-módulo a izquierda. Si definimos un producto $M\times
%A^\op\to M$ poniendo $m\cdot a=am$, podemos dotar a $M$ de una estructura de
%$A^\op$-módulo a derecha. Lo notamos $M^\op$.
%\item Si $f:M\to N$ es un morfismo de $A$-módulos a izquierda, entonces
%$f:M^\op\to N^\op$ es un morfismo de $A^\op$-módulos a derecha.
%\item Recíprocamente, todo $A^\op$-módulo a derecha es de la forma $M^\op$ para
%algún $A$-módulo a izquierda $M$ y todo morfismo de $A^\op$-módulos está
%inducido como en la parte anterior.
%\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
\item Sean $N$ y $M$ dos $\QQ$-módulos. Mostrar que una función $f:N\to M$ es un
morfismo de $\QQ$-módulos sii es un morfismo de grupos abelianos.

%%%%%%%%%%
\item Sean $A$ un anillo y $N$, $M$ dos $A$-módulos.
\begin{ejitems}

\item Mostrar que $\Hom_A(M, N)$ es un grupo abeliano con suma dada por
  \[
  (f+g)(m)=f(m)+g(m), \qquad\forall f,\, g\in\Hom_A(M,N),\;\forall m\in M.
  \]

\item Sea $\Z(A)$ el centro de $A$. Definimos una operación 
  \[
  \Z(A)\times\Hom_A(M,N)\to \Hom_A(M,N)
  \]
poniendo
  \[
  (a\cdot f)(m)=f(am), \qquad
  \forall f\in\Hom_A(M,N),\;
  \forall a\in\Z(A),\;
  \forall m\in M.
  \]
Mostrar que esto hace de $\Hom_A(M,N)$ un $\Z(A)$-módulo.

\item Mostrar que para todo $A$-módulo $M$ hay un isomorfismo de
$\Z(A)$-módulos $\Hom_A(A,M)\to M$ dado por la evaluación en $1$.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
\item\begin{ejitems}
\item Sean $A$, $B$ y $C$ anillos y sean $M$ un $(B,A)$-bimódulo y $N$ un
$(C,A)$-bimódulo. Mostrar que el grupo abeliano $\Hom_A(M,N)$ posee una única
estructura de $(C,B)$-bimódulo tal que
  \[
  (c\cdot f\cdot b)(m)=cf(bm), \qquad
  \forall b\in B,\,\forall c\in C,\,\forall m\in M.
  \]
\item Sean $A$ un anillo y $M$ un $A$-módulo a izquierda. Considerando a $A$ como
$(A,A)$-bimódulo, mostrar que hay un isomorfismo de $A$-módulos a izquierda
$\Hom_A(A,M)\cong M$.
\end{ejitems}


\item\header{Cambios de anillo} Sea $\phi:A\to B$ un morfismo de anillos. 
\begin{ejitems}
\item Mostrar que si definimos un
porducto $A\times B\to B$ poniendo
  \[
  a\cdot b = \phi(a)b
  \]
dotamos a $B$ de una estructura de $A$-módulo a izquierda. 
De forma similar podemos obtener una estructura de $A$-módulo a derecha y
de $A$-bimódulo sobre $B$.

\item Sea $M$ un $B$-módulo a izquierda. Mostrar que el producto $A\times M\to
M$ dado por $a\cdot m=\phi(a)m$ hace de $M$ un $A$-módulo a izquierda. Lo 
notamos~$\phi^*(M)$.

\item Si $f:M\to N$ es un morfismo de $B$-módulos a izquierda, entonces
$f:\phi^*(M)\to\phi^*(N)$ es un morfismo de $A$-módulos a izquieda. Lo
notamos~$\phi^*(f)$.

\item Si $M$ y $N$ son $B$-módulos a izquierda, la aplicación
  \[
  \phi^*:f\in\Hom_B(M,N)\mapsto\phi^*(f)\in\Hom_A(\phi^*(M),\phi^*(N))
  \]
es un morfismo de grupos abelianos. 

\item Si $M$, $N$ y $P$ son $B$-módulos a izquierda y $f:M\to N$
y $g:N\to P$ son morfismos de $B$-módulos, entonces
  \[
  \phi^*(g\circ f)=\phi^*(g)\circ\phi^*(f).
  \]
En particular, la aplicación $\phi^*:\End_B(M)\to\End_A(\phi^*(M))$ es un
morfismo de anillos.

%\item De condiciones sobre $\phi$ que impliquen que la aplicación
%  \[
%  \phi^*:\Hom_B(M,N)\to\Hom_A(\phi^*(M),\phi^*(N))
%  \]
%sea inyectiva (sobreyectiva) cualesquiera sean los $B$-módulos $M$ y $N$.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
\item Sean $A$ un anillo, $M$ un $A$-módulo a derecha y $B=\End_A(M)$ el
anillo de endomorfismos de $M$. Mostrar que $M$ es un $B$-módulo a izquierda de
manera natural y que con esa estructura resulta de hecho un $(B,A)$-bimódulo.

%%%%%%%%%%
\item Sea $A$ un anillo.
\begin{ejitems}
\item Sea $f:M\to M'$ un morfismo de $A$-módulos a izquierda. Para cada
$A$-módulo a izquierda $P$ definimos aplicaciones
  \[
  f^*_P:h\in\Hom_A(M',P)\mapsto h\circ f\in\Hom_A(M,P)
  \]
y
  \[
  f_*^P:h\in\Hom_A(P,M)\mapsto f\circ h\in\Hom_A(P,M').
  \]
Mostrar que $f^*_P$ y $f_*^P$ son morfismos de grupos abelianos.

\item Sean $f:M\to M'$ y $g:M'\to M''$ morfismos de $A$-módulos. Entonces para
cada $A$-módulo a izquierda $P$ vale que
  \[
  f^*_P \circ g^*_P = (g\circ f)^*_P
  \]
y
  \[
  g_*^P \circ f_*^P = (g\circ f)_*^P.
  \]

\item Una sucesión de $A$-módulos a izquierda
  \[\xymatrix{
  0 \ar[r] 
    & M'  \ar[r]^-f
    & M   \ar[r]^-g
    & M'' 
  }\]
es exacta sii la sucesión de grupos abelianos
  \[\xymatrix{
  0 \ar[r] 
    & \Hom_A(N,M')  \ar[r]^-{f_*^N}
    & \Hom_A(N,M)   \ar[r]^-{g_*^N}
    & \Hom_A(N,M'') 
  }\]
es exacta para todo $A$-módulo a izquierda $N$. ¿Hay un enunciado similar que
involucre a los morfismos $f^*_N$ y $g^*_N$?

\item ¿Es cierto que si 
  \[\xymatrix{
  0 \ar[r] 
    & M'  \ar[r]^-f
    & M   \ar[r]^-g
    & M'' \ar[r]
    & 0
  }\]
es una sucesión exacta de $A$-módulos a izquierda entonces
  \[\xymatrix{
  0 \ar[r] 
    & \Hom_A(N,M')  \ar[r]^-{f_*^N}
    & \Hom_A(N,M)   \ar[r]^-{g_*^N}
    & \Hom_A(N,M'') \ar[r]
    & 0
  }\]
es una sucesión exacta de grupos abelianos?
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
\item Probar que un $A$-módulo $M$ es simple sii para todo $m\in M\setminus0$, $Am=M$.

%%%%%%%%%%
\item\begin{ejitems}
\item\header{Lema de Schur} Sea $f:M\to N$ un morfismo de $A$-módulos. Probar que:
\begin{enumerate}
\item Si $M$ es simple, entonces $f$ es o bien nula o bien inyectva.
\item Si $N$ es simple, entonces $f$ es o bien nula o bien sobreyectiva.
\item Si $M$ y $M$ son simples, entonces $f$ es o bien nula o bien un
isomorfismo.
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%
\item Probar que si $M$ es un $A$-módulo simple, entonces $\End_A(M)$ es un anillo de división.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
\item Sean $k$ un cuerpo, $V$ un $k$-espacio vectorial y $f\in\End_k(V)$.
Mostrar que existe una única estructura de $k[X]$-módulo a izquierda sobre
$V$ para la cual $k\subseteq k[X]$ actúa por multiplicación escalar y
  \[
  X\cdot v = f(v), \qquad\forall v\in V.
  \]

%%%%%%%%%%
\item Sean $A$ un anillo y $M$ un $A$-módulo a izquierda.
\begin{ejitems}
\item Probar que el conjunto $\ann M=\{a\in A:am=0,\;\forall m\in M\}$ es un ideal a
izquierda de $A$. Si $\ann M = 0$, decimos que $M$ es un $A$-módulo \emph{fiel}.

\item Dar ejemplos de módulos fieles.
\end{ejitems}



%%%%%%%%%%%
%\item Sea $A$ un dominio íntegro y sean $v_1,\dots,v_n\in A^n$. Sea $M\in
%M_n(A)$ la matriz cuyas columnas son los vectores $v_1,\dots, v_n$.
%\begin{ejitems}
%\item El conjunto $\{v_1,\dots,v_n\}$ es linealmente independiente si $\det
%M\neq 0$.
%\item El conjunto $\{v_1,\dots,v_n\}$ es un sistema de generadores si $\det
%M\in A^\times$.
%\end{ejitems}


%%%%%%%%%%
\item Probar que $\QQ$ no es un $\ZZ$-módulo libre. 


%%%%%%%%%%
\item\begin{ejitems}
\item Probar que todo módulo de tipo finito posee un conjunto generador minimal.
\item Mostrar que para todo $n\in\NN$ existe un conjunto generador minimal de $\ZZ$ de
cardinal~$n$.
\end{ejitems}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\section{Condiciones de cadena}

%%%%%%%%%%
\item Probar que un $A$-módulo es finitamente generado si es isomorfo a un cociente de
$A^n$ para algún $n\in\NN$.

%%%%%%%%%%
\item Probar que si 
  \[\xymatrix{
  0 \ar[r]
    & M' \ar[r]
    & M \ar[r]
    & M'' \ar[r]
    & 0
  }\]
es una sucesión exacta corta de $A$-módulos a izquierda y $M'$ y $M''$ son
finitamente generados, entonces $M$ es finitamente generado.

%%%%%%%%%%
\item Sean $A$ un anillo, $M$ un $A$-módulo a izquierda finitamente generado y
sea $f:M\to A^n$ un morfismo sobreyectivo de $A$-módulos. Probar que $\ker f$
es finitamente generado.

%%%%%%%%%%
%\item Muestre que existen módulos finitamente generados y no Noetherianos y
%módulos tales que todos sus submódulos propios son finitamente generados pero
%que no son Noetherianos.

%%%%%%%%%%
\item Probar que un $k$-espacio vectorial $V$ es noetheriano sii $\dim_kV<\infty$.

%%%%%%%%%%
%\item Un anillo principal a izquierda es Noetheriano a izquierda.

%%%%%%%%%%
%\item Sean $A$ un anillo, $M$ un $A$-módulo a izquierda y $f\in\End_A(M)$.
%Si $n\in\NN_0$, pongamos $K_n=\ker f^n$ y $I_n=\im f^n$. Entonces
%\begin{ejitems}
%\item $K_1=K_2\implies K_1\cap I_1=0$;
%\item $I_1=I_2\implies K_1+I_1=M$;
%\item si $M$ es Noetheriano, existe $n\in\NN_0$ tal que $K_n\cap I_n=0$;
%\item si $M$ es Noetheriano y $f$ es sobreyectivo, entonces $f$ es un
%automorfismo.
%\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
\item Sea $d\in\ZZ$ y sea $\sqrt d\in\CC$ una raíz cuadrada de $d$. Probar que
el anillo $\ZZ[\sqrt d]$ es noetheriano.

%%%%%%%%%%
\item Sean $k$ un cuerpo, $V$ un $k$-espacio vectorial de dimensión infinita y
$A=\End_k(V)$ el anillo de endomorfismos de $V$. Probar que existe un $A$-módulo
$M$ no nulo tal que $M\cong M\oplus M$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\section{Algunos lemas usuales}

%%%%%%%%%%
\item\begin{ejitems}
\item Sea 
  \[\xymatrix{
  0 \ar[r]
    & M' \ar[r]\ar[d]^-{f'}
    & M  \ar[r]\ar[d]^-{f}
    & M'' \ar[r]\ar@{.>}[d]^-{f''}
    & 0
    \\
  0 \ar[r]
    & N' \ar[r]
    & N  \ar[r]
    & N'' \ar[r]
    & 0
  }\]
un diagrama conmutativo de $A$-módulos a izquierda en el que las filas son
exactas. Probar que existe un único morfismo $f'':M''\to N''$ que completa
el diagrama preservando la conmutatividad.

\item Probar que si $f'$ y $f$ son isomorfismos, entonces $f''$ es un isomorfismo.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
\item\header{Lema de los cinco} 
Consideremos un diagrama conmutativo de $A$-módulos izquierdos
  \[\xymatrix{
  M_1 \ar[r] \ar[d]^-{\alpha_1}
    & M_2 \ar[r] \ar[d]^-{\alpha_2}
    & M_3 \ar[r] \ar[d]^-{\alpha_3}
    & M_4 \ar[r] \ar[d]^-{\alpha_4}
    & M_5        \ar[d]^-{\alpha_5}
    \\
  N_1 \ar[r] 
    & N_2 \ar[r]
    & N_3 \ar[r]
    & N_4 \ar[r]
    & N_5 
  }\]
y supongamos que las dos filas son exactas.
\begin{ejitems}
\item Si $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\alpha_4$ y $\alpha_5$ son isomorfismos,
entonces $\alpha_3$ es un isomorfismo.
\item Si $\alpha_1$ es sobreyectivo y $\alpha_2$ y $\alpha_4$ son inyectivos,
entonces $\alpha_3$ es inyectivo.
\item Si $\alpha_5$ es inyectivo y $\alpha_2$ y $\alpha_4$ son sobreyectivos,
entonces $\alpha_3$ es sobreyectivo.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
%\item\header{Lema de los nueve} Consideremos un diagrama de $A$-módulos
%izquierdos
%  \[\xymatrix{
%  {}
%    & 0 \ar[d]
%    & 0 \ar[d]
%    & 0 \ar[d]
%    & {}
%    \\
%  0 \ar[r]
%    & M'  \ar[r]\ar[d]
%    & M   \ar[r]\ar[d]
%    & M'' \ar[r]\ar[d]
%    & 0
%    \\
%  0 \ar[r]
%    & N'  \ar[r]\ar[d]
%    & N   \ar[r]\ar[d]
%    & N'' \ar[r]\ar[d]
%    & 0
%    \\
%  0 \ar[r]
%    & P'  \ar[r]\ar[d]
%    & P   \ar[r]\ar[d]
%    & P'' \ar[r]\ar[d]
%    & 0
%    \\
%  {}
%    & 0
%    & 0
%    & 0 
%    & {}
%  }\]
%en el que las tres columnas y las dos primeras (o las dos últimas)
%filas son exactas. Entonces la tercera fila también es exacta.


\section{Localización de módulos}

%%%%%%%%%%
\item Sean $A$ un anillo conmutativo y $S\subseteq A$ multiplicativamente
cerrado. Probar que si $f:M\to N$ es un morfismo de $A$-modulos, entonces existe un único
morfismo de $A_S$-módulos $f_S:M_S\to N_S$ tal que el siguiente diagrama conmuta:
  \[\xymatrix{
  M \ar[r]^{f} \ar[d]_-{j_M} 
    & N \ar[d]^-{j_N}
    \\
  M_S \ar[r]^-{f_S} 
    & N_S
  }\]

%%%%%%%%%%
\item Sean $A$ un anillo conmutativo, $S\subseteq A$ multiplicativamente
cerrado y $M$ un $A$-módulo a izquierda finitamente generado. Probar que
$M_S=0$ sii existe $s\in S$ tal que $sM=0$.

Dar un contraejemplo para esta equivalencia cuando $M$ no es finitamente
generado.

%%%%%%%%%%
\item\header{Exactitud de la localización}
\begin{ejitems}
\item Sean $A$ un anillo conmutativo y $S\subseteq A$ multiplicativamente cerrado. Si 
  \[\xymatrix{
  0 \ar[r]
    & M' \ar[r]^-f
    & M \ar[r]^g
    & M'' \ar[r]
    & 0
  }\]
es una sucesión exacta corta de $A$-módulos, entonces 
  \[\xymatrix{
  0 \ar[r]
    & M'_S \ar[r]^-{f_S}
    & M_S \ar[r]^{g_S}
    & M''_S \ar[r]
    & 0
  }\]
es una sucesión exacta corta de $A_S$-módulos. 

\item En particular, si $M'\subseteq M$ es un submódulo de un $A$-módulo $M$,
entonces $M'_S$ puede ser considerado un submódulo de $M_S$.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%
\item Sean $A$ un anillo conmutativo y $S\subseteq A$ multiplicativamente cerrado. Probar que si $M$ es un $A$-módulo libre entonces $M_S$ es un $A_S$-módulo libre.


%%%%%%%%%%
\item Sean $A$ un anillo conmutativo, $S\subseteq A$
multiplicativamente cerrado y $M$ un $A$-módulo.

\begin{ejitems}

\item Si $P$ y $Q$ son submódulos de $M$, entonces $(P+Q)_S = P_S+Q_S$.

\item Si $P$ y $Q$ son submódulos de $M$, entonces $(P\cap Q)_S=P_S\cap Q_S$.

\item Si $P\subseteq M$ es un submódulo, entonces hay un isomorfismo canónico
$(M/P)_S\cong M_S/P_S$.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
\item\header{Propiedades locales} Sea $A$ un anillo conmutativo.

\begin{ejitems}

\item Sea $M$ un $A$-módulo. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

\begin{enumerate}[label=(\roman*)]
\item $M=0$;
\item $M_\p=0$ para todo $\p\in\Spec A$; y
\item $M_\m=0$ para todo ideal maximal $\m\subset A$.
\end{enumerate}

\item Sea $f:M\to N$ un morfismo de $A$-módulos. Las siguientes afirmaciones son
equivalentes:

\begin{enumerate}[label=(\roman*)]
\item $f$ es inyectivo;
\item $f_\p$ es inyectivo para todo $\p\in\Spec A$; y
\item $f_\m$ es inyectivo para todo ideal maximal $\m\subset A$.
\end{enumerate}

\item Sea $f:M\to N$ un morfismo de $A$-módulos. Las siguientes afirmaciones son
equivalentes:

\begin{enumerate}[label=(\roman*)]
\item $f$ es sobreyectivo;
\item $f_\p$ es sobreyectivo para todo $\p\in\Spec A$; y
\item $f_\m$ es sobreyectivo para todo ideal maximal $\m\subset A$.
\end{enumerate}

\item Consideremos una sucesión de $A$-módulos y morfismos de $A$-módulos
  \begin{equation}\label{eq:ms}
  \xymatrix{
  0 \ar[r] & M' \ar[r]^-f & M \ar[r]^-g & M'' \ar[r] & 0
  }
  \end{equation}
tales que $gf=0$. Muestre que las siguientes afirmaciones son equivalentes:
\begin{enumerate}[label=(\roman*)]
\item La sucesión~\eqref{eq:ms} es exacta.
\item Para todo $\p\in\Spec A$, la sucesión
  \[
  \xymatrix{
  0 \ar[r] & M'_\p \ar[r]^-{f_\p} & M_\p \ar[r]^-{g_\p} & M''_\p \ar[r] & 0
  }
  \]
obtenida de~\eqref{eq:ms} localizando en~$\p$, es exacta.
\item Para todo ideal maximal $\m\subset A$, la sucesión
  \[
  \xymatrix{
  0 \ar[r] & M'_\m \ar[r]^-{f_\m} & M_\m \ar[r]^-{g_\m} & M''_\m \ar[r] & 0
  }
  \]
obtenida de~\eqref{eq:ms} localizando en~$\m$, es exacta.
\end{enumerate}

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
%\item\header{Soporte de un módulo} Sea $A$ un anillo conmutativo. Si $M$ es un
%$A$-módulo, el \emph{soporte de $M$} es el conjunto
%  \[
%  \supp M=\{\p\in\Spec A:M_\p\neq0\}.
%  \]
%Muestre que si $M$ es finitamente generado, es
%  \[
%  \supp M = \{\p\in\Spec A:\p\subset\ann M\}.
%  \]

\end{ejercicios}


\end{document}