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\overfullrule5pt

\Materia{Álgebra II}
\Cuatrimestre{Primer Cuatrimestre --- 2017}
\Practica{4}
\Titulo{Anillos}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Abreviaturas
\newcommand\CC{\mathbb{C}}
\newcommand\RR{\mathbb{R}}
\newcommand\QQ{\mathbb{Q}}
\newcommand\ZZ{\mathbb{Z}}
\newcommand\NN{\mathbb{N}}
\newcommand\FF{\mathbb{F}}
\newcommand\HH{\mathbb{H}}
\newcommand\GG{\mathbb{G}}
\newcommand\II{\mathbb{I}}

\newcommand{\Hom}{\mathrm{Hom}}

\newcommand\Grp{\mathrm{Grp}}
\newcommand\op{\mathrm{op}}
\newcommand\id{\mathsf{id}}
\newcommand\Z{\mathsf{Z}}
\newcommand\N{\mathsf{N}}
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\renewcommand\O{\mathcal{O}}
\renewcommand\S[1]{[\![#1]\!]}
\newcommand\eps{\varepsilon}
\newcommand\abs[1]{\lvert#1\rvert}
\newcommand\absx[1]{\left\lvert#1\right\rvert}
\newcommand\gen[1]{\left\langle#1\right\rangle}
\newcommand\gens[1]{\langle#1\rangle}
\newcommand\divides{\mid}
\newcommand\notdivides{\nmid}
\renewcommand\emptyset{\varnothing}
\def\dash---{\thinspace---\hskip.16667em\relax}
\newcommand\p{\mathfrak{p}}
\newcommand\q{\mathfrak{q}}
\newcommand\m{\mathfrak{m}}

\DeclareMathOperator{\GL}{GL}
\DeclareMathOperator{\AGL}{AGL}
\DeclareMathOperator{\SL}{SL}
\DeclareMathOperator{\End}{End}
\DeclareMathOperator{\Aut}{Aut}
\DeclareMathOperator{\Inn}{Inn}
\DeclareMathOperator{\Out}{Out}
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\DeclareMathOperator{\Spec}{Spec\;}
\DeclareMathOperator{\nil}{nil}
\DeclareMathOperator{\cl}{cl}
\DeclareMathOperator{\charact}{char}

\newcommand{\cU}{\mathcal{U}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% proclaiming things
\theoremseparator{.}
\newtheorem*{Definicion}{Definición}
\theoremindent\parindent
\newtheorem*{Teorema}{Teorema}
\newtheorem*{Proposicion}{Proposición}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\maketitle

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\section{Definiciones y ejemplos}

\begin{ejercicios}

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\item Probar que si $A$ es un anillo en el que cada elemento no nulo tiene un inverso a izquierda, entonces $A$ es un anillo de división.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sean $A$ un anillo y $a\in A$. Probar que si existe $n\in\NN$ tal que $a^n$ es inversible, entonces $a$ es inversible.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item\header{Anillo opuesto}
Sea $A$ un anillo. Sea $\ast:A\times A\to A$ la
operación definida por
  \[
  a\ast b = ba,\qquad\forall a, b\in A.
  \]
Probar que $(A,+,\ast)$ es un anillo. Se trata del \emph{anillo opuesto de
$A$}, que denotamos por $A^\op$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $A$ un grupo abeliano. Probar que $\End A$ ---el conjunto de endomorfismos de
grupo de $A$--- es un anillo con la suma habitual de funciones y la composición como 
producto.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item\header{Anillos de matrices} Sean $A$ un anillo y $n\in\NN$. Definimos:
\begin{align*}
M_n(A)&=\{a=(a_{ij})\in A^{n\times n}\}\\
M_\infty(A)&=\{a=(a_{ij})\in A^{\NN\times\NN}: \mbox{toda fila de $a$ tiene finitos coeficientes no nulos}\}
\end{align*}
Probar que $M_n(A)$ y $M_\infty(A)$ son anillos con la suma y el producto usuales de matrices. Probar que si $n>1$, entonces $M_n(A)$ es no conmutativo.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item\header{Anillos de funciones}
\begin{ejitems}
\item Sean $A$ un anillo y $X$ un conjunto no vacío. Sea $A^X$ el conjunto de
todas las funciones $X\to A$. Probar que $A^X$ es un anillo con las operaciones definidas por:
\begin{align*}
(f + g)(x)&= f(x) + g(x)\\
(f\cdot g)(x)&= f(x)g(x)
\end{align*}
¿Cuándo es conmutativo?
\item Sean $n,k\in \NN$, $U\subseteq \RR^n$ un abierto y sea $C^k(U)\subseteq \RR^U$ el conjunto de todas las funciones $k$ veces derivables con continuidad. Probar que $C^k(U)$ es un subanillo de $\RR^U$.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item\header{Anillos de polinomios}
Sea $A$ un anillo, y sea
\[
  S=\{f:\NN_0\to A \mid \text{existe un conjunto finito $T \subset \NN_0$ tal que $f|_{T^c} \equiv 0$} \}.
\]
Definimos operaciones de suma y producto  $\mathord{+}, \mathord{\cdot}:S\times
S\to S$ de la siguiente manera: para cada $f, g\in S$ y cada $n\in\NN_0$, 
  \[
  (f+g)(n) = f(n) + g(n)
  \]
y 
  \[
  (f\cdot g)(n) = \sum_{\substack{k,l\geq0\\ k+l=n}}f(k)g(l).
  \]
Mostrar que estas operaciones están bien definidas y que $(S, \mathord{+}, 
\mathord{\cdot})$ es un anillo.\\ 

\noindent
Sea $X$ una variable formal. Si $f \in S$ y $T \subset \NN$ es tal que $f|_{T^c} \equiv 
0$, podemos representar a $f$ por la suma finita formal 
\[
  \sum_{n \in T} f(n) X^n.
\] 
Con esta notación, las operaciones de $S$ imitan formalmente las correspondientes 
operaciones entre polinomios. Llamamos a $S$ el \emph{anillo de polinomios con 
coeficientes en $A$} y lo notamos $A[X]$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $A$ un anillo. Probar que $\Z(M_n(A))=\Z(A)\cdot\id$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sean $G$ un grupo y $A$ un anillo. Calcular $\Z(A[G])$.

\begin{Indicacion}
Mostrar que si $\sum_g a_g\cdot g$ es central, entonces $a_g\in\Z(A)$ para todo $g\in G$ y $a_{ghg^{-1}}=a_h$ para todos $g,h\in G$.
\end{Indicacion}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $A$ un anillo. El \emph{grupo de unidades de $A$} es el conjunto
\[\cU(A)=\{a\in A\mid a\text{ es inversible}\}\]
con la multiplicación de $A$.
\begin{ejitems}
	\item Probar que $\cU(A)$ es un grupo.
	\item Hallar las unidades de $\ZZ$ y $\ZZ[\sqrt{2}]$.
	\item Sea $G$ un grupo. Probar que $1\cdot G\subseteq \cU(\ZZ[G])$ pero que no vale la igualdad.
\end{ejitems}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item\header{Idempotentes}
Sea $A$ un anillo. Un elemento $e\in A$ es \emph{idempotente} si $e^2=e$. Probar las 
siguientes afirmaciones.
\begin{ejitems}
\item Si $e\in A$ es idempotente, el subconjunto $eAe$ con las operaciones de
$A$ restringidas es un anillo. Se trata de un subanillo de $A$ si y solo si $e=1$.
\item Si $e\in A$ es idempotente, entonces $1-e$ también lo es.
\item Sea $G$ un grupo finito y sea $k$ un cuerpo en el que $|G|\ne 0$. Probar que
\[e=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}g\]
es un idempotente en $k[G]$.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item\header{Anillos booleanos}
Un anillo $A$ es \emph{booleano} si todos sus elementos son idempotentes.
\begin{ejitems}
\item Probar que si $X$ es un conjunto, entonces $(\mathcal P(X),\triangle,\cap)$
es un anillo booleano ---aquí, $\mathord{\triangle}$ es la operación diferencia simétrica.
\item Probar que un anillo booleano es conmutativo.
\end{ejitems}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\end{ejercicios}


\section{Morfismos, ideales y cocientes}
En toda esta sección, $A$ y $B$ son anillos.

\begin{ejercicios}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item 
\begin{ejitems}
\item Mostrar que hay exactamente un morfismo de anillos $\ZZ\to A$.
\item Mostrar que hay a lo sumo un morfismo de anillos $\QQ\to A$ y que puede no
haber ninguno.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $f:\RR\to\RR$ un morfismo de anillos. Probar las siguientes afirmaciones.
\begin{ejitems}
\item $f(\QQ)\subseteq\QQ$, y de hecho $f|_\QQ=\id_\QQ$.
\item La aplicación $f$ es estrictamente creciente. 
\end{ejitems}
\noindent Concluir que $f = \id_\RR$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $k$ un cuerpo. Decidir en cada caso si existe un morfismo de anillos 
$f:A\to B$:
\begin{multicols}{2}
\begin{ejitems}
\item $A=\ZZ[i]$ y $B=\RR$;
\item $A=\ZZ[\sqrt{-5}]$ y $B=\ZZ[\sqrt3]$;
\item $A=k$ y $B=M_n(k)$;
\item $A=M_n(k)$ y $B=k$.
\end{ejitems}
\end{multicols}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Probar que si $G$ es un grupo, la siguiente aplicación es una biyección:
\begin{align*}\Hom_{\mathrm{Anillos}}(\ZZ[G],A)&\to \Hom_{\Grp}(G,\cU(A)) \\
f&\mapsto f|_G\\\end{align*}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $\mathcal I$ una familia de ideales a izquierda (a derecha,
biláteros) de $A$.
\begin{ejitems}
\item Mostrar que $\bigcap_{I\in\mathcal I} I$ es un ideal a
izquierda (a derecha, bilatéro) de $A$. Se trata del ideal más grande contenido
en todos los ideales de $\mathcal I$.

\item Mostrar que $\sum_{I\in\mathcal I}I$ es un ideal a izquierda (a
derecha, bilátero) de $A$. Se trata del ideal más chico que contiene a todos los
ideales de $\mathcal I$.
\end{ejitems}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Probar que:
\begin{ejitems}
\item $A[X]/\langle X-1\rangle\cong A$;
\item $\ZZ[D_n]/\langle R^m-1\rangle\cong \ZZ[D_m]$, si $m\mid n$;
\item $\ZZ_{mn}\cong \ZZ_m\times \ZZ_n$ si $m$ y $n$ son coprimos (Teorema chino del resto).
\end{ejitems}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sean $I\subseteq A$ un ideal bilátero y $J$ el ideal generado por $I$ en $A[X]$. Probar que $A[X]/J\cong (A/I)[X]$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $k$ un cuerpo. Sean $G$ un grupo y $H\unlhd G$ un subgrupo normal, y 
consideremos la proyección canónica $\pi:G\to G/H$. Mostrar que $\pi$
determina un morfismo sobreyectivo de anillos $k[\pi]:k[G]\to k[G/H]$. Describir
el núcleo de $k[\pi]$.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item \header{Ideales biláteros de $M_n(A)$}
\begin{ejitems}
\item Sean $I\subseteq A$ un ideal bilátero y $n\in\NN$. Sea $M_n(I)\subseteq M_n(A)$ el subconjunto de las matrices de 
$M_n(A)$ que tienen todos sus coeficientes en $I$. Mostrar que $M_n(I)$ es un ideal
bilátero de $M_n(A)$ y que $M_n(A)/M_n(I)\cong M_n(A/I)$.

\item Probar que si $J\subseteq M_n(A)$ es un ideal
bilátero, entonces existe un ideal bilátero $I\subseteq A$ tal que $J=M_n(I)$.

\begin{Indicacion}
\def\n{\mathbf{n}}
Tomar $I = \{a \in A \mid a = M_{1,1} \mbox{ para alguna matriz } M \in J\}$. 
\end{Indicacion}

\item Probar que si $k$ es un cuerpo, entonces $M_n(k)$ es simple --es decir que los únicos ideales biláteros de $M_n(k)$ son $0$ y $M_n(k)$.
\end{ejitems}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item \header{Ideales a izquierda de $M_n(k)$} Sea $k$ un cuerpo.
\begin{ejitems}
	\item Sean $V\subseteq k^n$ un subespacio vectorial e $I_V$ el subconjunto de $M_n(k)$ formado por todas las matrices cuyas filas pertenecen a $V$. Probar que $I_V$ es un ideal a izquierda de $M_n(k)$.
	\item Probar que todo ideal a izquierda de $M_n(k)$ es de la forma $I_V$ para algún subespacio $V\subseteq k^n$.

\begin{Indicacion}
Llamar $V$ al conjunto formado por las todas filas de todas las matrices del ideal y probar que es un subespacio.
\end{Indicacion}
\end{ejitems}



\end{ejercicios}

\end{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
