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\newtheorem{ejer}{Ejercicio}

\newcommand{\bej}{\begin{ejer} \rm}
\newcommand{\fej}{\end{ejer}}

\def\A{\mathbb{A}}
\def\C{\mathbb{C}}
\def \N{\mathbb{N}}
\def \P{\mathbb{P}}
\def \Q{\mathbb{Q}}
\def \R{\mathbb{R}}
\def \Z{\mathbb{Z}}


\def\d{\displaystyle}

\topmargin-2cm \vsize 29.5cm \hsize 21cm
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\begin{document}
\thispagestyle{empty}

\centerline{{\small Universidad de Buenos Aires - Facultad de
Ciencias Exactas y Naturales - Depto. de Matem\'atica}}

\vskip 0.2cm

\hrulefill
\vskip 0.2cm
\centerline{{\bf\Huge {\sc Optimización }}}
\vskip 0.2cm
\centerline{{\ttfamily Primer Cuatrimestre 2016}}
\hrulefill

\bigskip

\centerline{\bf  Pr\'actica N$^\circ$ 0: Repaso.}
\bigskip



\medskip
\noindent \textbf{Repaso de Álgebra Lineal}

\bej Sea $A\in\R^{n\times n}$. Probar que la aplicación $<,>:\R^n\times\R^n\rightarrow\R$ dada por $<v,w>=v^tAw$ define un producto interno si y sólo si $A$ es simétrica y definida positiva.\fej

\bej Sea $A\in\R^{n\times n}$ simétrica. Probar que si $\lambda$ es autovalor de $A$ entonces $\lambda\in\R$. Si además $A$ es definida positiva, probar que $\lambda>0$. \fej

\bej Sea $A\in\R^{n\times n}$ simétrica. Sean $v_1$ y $v_2$ autovectores de $A$ correspondientes a los autovalores $\lambda_1$ y $\lambda_2$ respectivamente. Probar que si $\lambda_1\neq\lambda_2$ entonces $v_1$ y $v_2$ son ortogonales con el producto interno usual. \fej

\bej Sea $A\in\R^{n\times n}$. Probar que $A$ es simétrica si y sólo si $O^t A O$ es simétrica para toda $O\in\R^{n\times n}$ ortogonal.\fej

\bej Probar que si $A\in\R^{n\times n}$ es simétrica, entonces admite una base ortonormal de autovectores.\fej

\bej Sea $A\in\R^{n\times n}$ simétrica y definida positiva, y sea $A_k\in\R^{k\times k}$ la submatriz con coeficientes $(a_{ij})$ para $1\le i,j\le k$. Probar que $A_k$ es simétrica definida positiva $(k=1,2,\dots,n)$. Concluir que $\det(A_k)>0$ para todo $k$. Los valores $\det(A_k)$ se llaman \emph{menores principales} de $A$.\fej
\noindent \textbf{Repaso de An\'alisis}

\bej
Calcular la f\'ormula de Taylor de segundo orden para las funciones dadas en el punto
indicado. Escribir la forma de Lagrange del residuo.

a) $f(x,y) = (x + y)^2$ en $(0, 0)\qquad$ b)$f (x, y) = e^{x+y}$ en $(0, 0)$ 

\fej
\bej Sea $f (x, y) = x e^y$. Calcular el polinomio de Taylor de orden 1 de $f$ en el punto $P = (1, 0)$. Usar este polinomio para aproximar el valor $f(0.98,0.02)$. Estimar el error
cometido.
\fej

\bej
 Calcular los puntos críticos de $f(x,y)=xe^{-y^2}+x^2$, $g(x,y) = x^2 +y^4$
y $h(x,y) = x^4 -y^4$ y sus hessianos en dichos puntos. ?`Son m\'aximos, mínimos o puntos silla?
\fej
\bej

 Sea $f\in C^2(\mathbb R^n)$ tal que tiene un extremo estricto en $a\in\mathbb R^n$. ?`Es necesariamente $H f(a)$ definida positiva o negativa?
\fej 

\bej 
Determinar los extremos absolutos de $f|_A$ en los siguientes casos:
\begin{enumerate}
 \item[a)] $f(x, y) = xy(x - y)^2\qquad A = \{(x, y) \in \mathbb R^2 :x > 0, y > 0\}.$ 
\item[b)] $f (x, y) = 2 x + 4y - x^2 - y^2 -3 \qquad A= \mathbb R^2.$ 
\item[c)] $f (x, y) = 2 x + 4y - x^2 - y^2 - 3 \qquad A= \{(x, y)\in R^2 : |x| \leq 1, |y| \leq 1\}$.
\end{enumerate}
\fej

\bej La temperatura de una placa en un punto cualquiera $(x, y)$ viene dada por la funci\'on
$T (x, y) = 25 + 4x^2 - 4xy + y^2$ . Una alarma t\'ermica, situada sobre los puntos de
la circunferencia $x^2 + y^2 = 25$, se dispara a temperaturas superiores a 180 grados o
inferiores a 20 grados. ?`Se disparar\'a la alarma?
\fej
\medskip


\medskip
\noindent \textbf{Repaso Cálculo Numérico}

\bej
Decidir si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones y justificar:
        \begin{enumerate}
        \item[a)] $n$ es $O(n)$
        \item[b)] $3n^2+7n+4$ es $O(n^2)$
        \item[c)] $n^i$ es $O(n^j)$ si $i<j$
        \end{enumerate}
\fej

\bej
Mostrar que $n!$ no es $O(r^n)$, cualquiera sea el entero positivo $r$. Concluir que una complejidad de $O(n!)$ es ``peor'' que una complejidad exponencial de cualquier base. \fej

\bej Escribir algoritmos para realizar suma, resta y multiplicaci\'on de matrices. Determinar la complejidad y expresarla en funci\'on de la dimensi\'on de las matrices.\fej

\bej Escribir un programa para calcular la descomposición de Cholesky de una matriz simétrica y definida positiva.\fej

\bej Escribir un programa que resuelva sistemas de $n$ ecuaciones lineales con $n$ inc\'ognitas, cuya matriz asociada sea simétrica y definida positiva, usando el programa del ejercicio anterior. \fej

\bej Sean $f:[a,b]\rightarrow\R$ una función $C^1$, $x=(x_0,x_1,\dots,x_n)$ el vector de puntos equiespaciados tales que $x_0=a$, $x_n=b$, e $y=(y_0,y_1,\dots,y_n)$ el vector con $y_i=f(x_i)$. Escribir un programa que devuelvan un vector $z$ tal que $z_i\sim f'(x_i)$, donde la aproximación se realiza usando el método de diferencias finitas, tomando como datos los vectores $x$ e $y$ y el tipo (\emph{backward}, \emph{forward} y \emph{centradas}).\fej

\bej Sea $f:[a,b]\to\mathbb R$, de clase $C^2$ tal que se anula solamente una vez en el intervalo. Escribir el algoritmo de Newton para aproximar la raiz de $f$. Usar alguna variante de diferencias finitas del ejercicio anterior para estimar los valores de $f'$. \fej

\bej Escribir un algoritmo para el siguiente problema de Cuadrados M\'inimos: Dados puntos distintos en el plano $\{(x_1,y_1),...(x_n,y_n)\}$, hallar el polinomio $p\in\mathcal P_k$ que mejor aproxime estos datos en el sentido de cuadrados m\'inimos; es decir que minimice la expresi\'on: 
$\sum_{i=1}^n|y_i-p(x_i)|^2$ \fej


\end{document}

