\documentclass[12pt]{article}
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\usepackage{amssymb,amsmath,latexsym,epsfig,euscript,multicol}
\usepackage{enumitem,placeins}
\usepackage[utf8x]{inputenc}

% Caracteres especiales
\def\A{\mathbb{A}}
\def\C{\mathbb{C}}
\def \N{\mathbb{N}}
\def \P{\mathbb{P}}
\def \Q{\mathbb{Q}}
\def \R{\mathbb{R}}
\def \Z{\mathbb{Z}}
\def \sen{\textrm{sen}}

\newtheorem{ejer}{Ejercicio}
\newcommand{\bej}{\begin{ejer}\rm}
\newcommand{\fej}{\end{ejer}}

\def\dt{\Delta t}
\def\dx{\Delta x}
\def\d{\displaystyle}
\def\erf{\mbox{\rm erf}}
\def\R {\mathbb{R}}
\def\N {\mathbb{N}}

\topmargin-2cm \vsize 29.5cm \hsize 21cm
\setlength{\textwidth}{16.75cm}\setlength{\textheight}{23.5cm}
\setlength{\oddsidemargin}{0.0cm}
\setlength{\evensidemargin}{0.0cm}


\begin{document}

%----------------------------------------------------------
%Encabezado:

\centerline{{\small Universidad de Buenos Aires - Facultad de Ciencias Exactas y Naturales - Depto. de Matemática}}
 
 \vskip 0.2cm
 \hrulefill
 \vskip 0.2cm

 \centerline{{\bf\Large{\sc Elementos de Cálculo Numérico / Cálculo Numérico}}}
 \vskip 0.2cm
 \centerline{\ttfamily Primer Cuatrimestre 2016}
 \hrulefill

 \bigskip
 \centerline{\bf Práctica N$^\circ$ 9: Aproximaci\'on por cuadrados m\'{\i}nimos.}
 \bigskip


%----------------------------------------------------------
% 1
\bej Escribir un programa que reciba como datos dos vectores \verb+x+ e \verb+y+ y un n\'umero \verb+n+ y 
devuelva un vector con los coeficientes del polinomio de grado \verb+n+ que mejor ajusta la tabla dada por 
\verb+x+ e \verb+y+ en el sentido de cuadrados m\'inimos.

Para el c\'alculo, utilice la descomposici\'on QR de una matriz apropiada. 
\fej

%----------------------------------------------------------
% 2
\bej
La siguiente tabla contiene los porcentajes de asistencia a los laboratorios de Cálculo Numérico y la nota obtenida en el final de la materia, por un grupo de alumnos: 
\begin{table}[ht]
\begin{center}
\begin{tabular}{c|cccccccccccccc}
\hline
$x$ &60.3&37.4&65&74.8&39&21.1&36.1&38.6&53.1&65.7&16.8&32.4&78.8&15.3 \\
\hline
$y$ &8&6&8&9&6&5&6&6&7&8&5&6&9&5\\
\hline
\end{tabular}
\vspace{10pt}
\begin{tabular}{c|ccccccccccc}
\hline
$x$ &84.8&71.6&54.7&67.1&35&49.7&80.5&66.8&60.4&30.7&50.2\\
\hline
$y$ &10&9&7&8&6&7&10&8&8&6&7\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}
Realizar un ajuste lineal y un ajuste cuadrático de los datos. 

A partir de cada ajuste, ¿qué porcentaje de asistencia a los laboratorios sería recomendable alcanzar si se quiere obtener al menos un 8 en el final?
\fej

%----------------------------------------------------------
% 3
\bej \label{runge} Considerar la funci\'on $\displaystyle
f(x)=\frac{1}{1+25 x^2}$ en el intervalo [-1,1].

Para $n=5,10,15$; graficar simult\'aneamente $f$ junto con
\begin{itemize}
\item los polinomios que aproximan a $f$ en el sentido de
cuadrados m\'\i nimos en $n+1$ puntos equiespaciados y tienen
grado $\frac 25 n$ y $\frac 45 n$,

\item el polinomio que resulta de interpolar a $f$ en los puntos
anteriores.
\end{itemize}
\fej

%----------------------------------------------------------
% 4
\bej Hallar la constante o polinomio de grado 0 que mejor
aproxima en el sentido de cuadrados m\'\i nimos a una funci\'on
$f:[a,b]\to \R$ en $n$ puntos $x_1, \dots, x_n$ en $[a,b]$.
\fej


%----------------------------------------------------------
% 5
\bej Escribir un programa que reciba como datos dos vectores \verb+x+ e \verb+y+, y un conjunto de funciones \verb+S+:
$$\verb+S+ = \{f_1,\dots,f_n\}$$
\noindent y calcule la funci\'on $f\in<f_1,\dots,f_n>$ que mejor aproxima a la tabla dada por \verb+x+ e \verb+y+ en 
el sentido de cuadrados m\'inimos. 

\noindent{\bf Nota: }Investigar la estructura de datos \verb+cell+ como una forma de dar el conjunto \verb+S+.
\fej

%----------------------------------------------------------
% 6
\bej Sea $S$ el subespacio de funciones continuas definidas de $\R$ en $\R$ generado por
las funciones del conjunto $B = \{1, x, 2^x, 3^x\}$. Para $i = 0,
1, 2, 3$, sea $x_i = i$, y sea $T$ un conjunto de datos del tipo
$\{(x_0, y_0), (x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)\}$.
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item Demostrar que $B$ es una base de $S$ y que para todo conjunto de datos $T$ existe una \'unica funci\'on $p \in S$ tal que
$p$ interpola a $T$.
\item Demostrar que $\langle p,q \rangle  = \sum_{i = 0}^3p(x_i)q(x_i)$ es un
producto interno en $S$.
\item Aproximar la siguiente tabla de datos en el sentido de cuadrados
m\'\i nimos

\begin{table}[ht]
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
$x$ &0&1&2&3\\
\hline
$y$ &0.3&-0.2&7.3&23.3\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}

con funciones del tipo:\ (a)\quad $y=a 2^x + b 3^x$, \hskip 1cm
(b)\quad $y=a 2^x + b 3^x + c.$
\item Graficar los resultados obtenidos junto con los valores de
la tabla de datos.
\end{enumerate}
\fej

%----------------------------------------------------------
% 7
\bej Considerar\ $\erf:\R\to\R$ la funci\'on  dada por
$$\erf(x)=\frac 2{\sqrt{\pi}} \int_0 ^x e^{-t^2} dt.$$
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item Graficar la funci\'on con el comando $\erf$ de Octave en el
intervalo $[-15,15]$. Observar que $\d\lim_{x\to \pm \infty}
\erf(x)=\pm 1$.

\item Aproximar la funci\'on\ $\erf$\ en el sentido de cuadrados
m\'\i nimos con polinomios de grado 1, 3 y 5; considerando 20
puntos equiespaciados en el intervalo $[-10,10]$. Graficar $\erf$
junto con estos polinomios en el intervalo $[-15,15]$. Observar
que la aproximaci\'on es mala fuera del intervalo $[-10,10]$.

\item Se quiere aproximar nuevamente la funci\'on erf en el sentido de
cuadrados m\'\i nimos con una combinaci\'on lineal de funciones
que compartan con erf la propiedad de ser acotada e impar. Para
ello, ajustar la funci\'on erf con una funci\'on del tipo
$$c_1xe^{-x^2} + c_2\hbox{arctan}(x) + c_3\frac{x}{x^2 + 1},$$
considerando 20 puntos equiespaciados en el intervalo $[-10,
10]$. Graficar erf junto a esta aproximaci\'on en el intervalo
$[-15, 15]$ y comparar con el \'\i tem (b).
\end{enumerate}
\fej

%----------------------------------------------------------
% 8
\bej Aproximar los datos de la tabla siguiente
con un modelo de la forma $ f(x) \sim a e^{bx}$ en el sentido de
cuadrados m\'\i nimos para la funci\'on $ \ln(f(x))$.
\begin{table}[!ht]
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
$x$ &-1&0&1&2\\
\hline
$y$ &8.1& 3&1.1& 0.5\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}
\fej

%----------------------------------------------------------
% 9
\bej Aproximar los datos de la tabla siguiente
con un modelo de la forma $ f(x) \sim - e^{ax^2 + bx +c}$ en el
sentido de cuadrados mínimos para la funci\'on $ \ln(-f(x))$.
\begin{table}[!ht]
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
$x$ &-1&0&1&2\\
\hline
$y$ & - 1.1& - 0.4&- 0.9& - 2.7\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}
\fej
\FloatBarrier
%----------------------------------------------------------
% 10
\bej Considerar $$\langle f,g\rangle =\int^1_{-1} f'(x)g'(x) \ dx $$
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item Probar que $\langle\ ,\ \rangle $ es un producto interno en $S_m$, el
espacio generado por $\{x,x^2,x^3,\cdots,x^m\}$.
\item Hallar una base ortonormal para $S_3$.
\item Hallar la mejor aproximaci\'on en el sentido de cuadrados
m\'{\i}nimos sobre $S_3$ para $f(x)=x^4$.
\end{enumerate}
\fej

%----------------------------------------------------------
% 11
\bej Sea
\[
\langle f,g \rangle = f(1) g(1) - f(-1) g(-1) + \int_{-1}^{1}
f'(x) g'(x) dx.
\]
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item Decidir si $\langle\cdot,\cdot \rangle$ es un producto
interno en $C^1([-1, 1])$.

\item Probar que $\langle\cdot,\cdot \rangle$ es un producto
interno para el espacio $V=\{f\in C^1([-1, 1]): f \mbox{ es
impar}\}.$

\item Hallar la mejor aproximaci\'on en el sentido de
cuadrados m\'{\i}nimos del polinomio \break $p(x) = x^5$ sobre el
subespacio $S$ generado por $\{x,x^3\}$.
\end{enumerate}
\fej

%----------------------------------------------------------
% 12
\bej 
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item Demostrar que
$$\langle f, g\rangle  = \int_{-1}^1 f''(x)g''(x)dx + f(-1)g(-1) + f(1)g(1)$$
es un producto interno en el espacio ${\cal C}^2([-1, 1])$.
\item Hallar una base ortonormal de $\R_2[X]$ para el producto
interno definido en el \'\i tem anterior.
\item Probar que si $f$ es una funci\'on par en ${\cal C}^2([-1,
1])$, entonces su proyecci\'on sobre $\R_2[X]$ es par, y que si
$f$ es una funci\'on impar, entonces su proyecci\'on es impar.
\end{enumerate}
\fej

\end{document}
