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\newtheorem{ejer}{Ejercicio}
\newcommand{\bej}{\begin{ejer}\rm}
\newcommand{\fej}{\end{ejer}}

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\begin{document}
 \centerline{{\small Universidad de Buenos Aires - Facultad de Ciencias Exactas y Naturales - Depto. de Matemática}}
 
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 \centerline{{\bf\Huge {\sc Optimización}}}
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 \centerline{\ttfamily Primer Cuatrimestre 2015}
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 \centerline{\bf Trabajo Práctico N$^\circ$ 2: Superficies Mínimas.}
 \bigskip
 
 El objetivo de este trabajo es aplicar métodos de descenso a la resolución de distintos problemas de superficies mínimas. Dado un dominio $\Omega\subset\mathbb{R}^2$, y una función $u:\Omega\to\mathbb{R}$, el área de la superficie dada por el gráfico de $u$ es:
 \begin{equation}\label{func}                                   
 A(u) = \int_\Omega \sqrt{1+|\nabla u|^2} 
 \end{equation}
En general, el problema de superficies mínimas consiste en buscar la superficie $u$ que minimice $A(u)$ dados valores de contorno de $u$ en $\partial\Omega$. Es decir, para una $g:\partial\Omega\to\mathbb{R}$ dada:
\begin{equation}\label{problem}
\begin{array}{c} \min A(u)\\
\textrm{s.a:} \quad u = g \; \textrm{en} \; \partial\Omega.
\end{array}
\end{equation}

 \subsection*{Catenoide}
Un ejemplo simple de superficie mínima está dado por la \emph{catenoide}. El problema de la catenoide puede formularse del siguiente modo: dados dos círculos de radios $R_0$ y $R_1$ ubicados uno encima del otro a alturas $z_0$ y $z_1$, con sus centros ubicados sobre un mismo eje, la catenoide es la mínima superficie que une los bordes de estos círculos. Si una estructura formada por dos círculos de alambre es sumergida en agua jabonosa, ésta formará una membrana adherida a ambos círculos: la catenoide es la superficie que adopta naturalmente esta membrana. 

El nombre \emph{catenoide} proviene de que esta superficie resulta ser la superficie de revolución de la curva catenaria. La catenaria es la curva que describe la forma que adopta una cuerda (o cadena) fijada en sus extremos, bajo la acción uniforme de la gravedad. 

La simplicidad del problema de la catenoide radica en su simetría, que permite reducir la formulación a una única variable. En efecto, si se corta la superficie con un plano horizontal a altura $z$ se obtendrá un círculo de radio $r(z)$. Si el planteo \eqref{problem} se escribe, para este problema, en coordenadas cilíndricas, se obtiene:
\begin{align*}
\min A(r) &= 2\pi\int_{z_0}^{z_1} r(z)\sqrt{1+r'(z)^2} dz\\
			\textrm{s.a:} \quad &r(z_0)=R_0,\;r(z_1)=R_1.
\end{align*}

Para resolver este problema se propone la siguiente estrategia:
\begin{itemize}
\item Realizar una discretización del intervalo: $[z_0,z_1]$, $$z_0=t_0<t_1<\dots<t_n<t_{n+1}=z_1.$$
\item Asumir que $r$ es continua y lineal a trozos en los intervalos $[t_i,t_{i+1}]$. Esto autoriza a:
\item Realizar una discretización de $r$, $r_i\sim r(t_i)$. De este modo, $r_0 = R_0$ y $r_{n+1}=R_1$ dados, y $r_i$ con $1\le i\le n$ serán las variables del problema. 
\item Utilizar algún método de descenso para minimizar $A(r_1,\dots,r_n)$, definido sobre la variable discretizada.
\end{itemize}

\bej Asumiendo una discretización homogénea de $[z_0,z_1]$, tal que $t_{i+1}-t_i = h$, calcular analíticamente el funcional $A$ en función de $(r_1,\dots,r_n)$. 
\fej

\bej Implementar un programa que reciba como datos: $z_0,z_1,r_0,r_1$ y el número de variables de la discretización $n$ y calcule el funcional $A$. 
\fej

\bej Implementar programas que minimicen $\widetilde{A}$ utilizando:
\begin{itemize}
\item[a)] El método del gradiente;
\item[b)] El método de Newton;
\item[c)] El método de Tangentes Paralelas. 
\end{itemize} 
En cada caso graficar la superficie resultante. Para graficar, debe tenerse en cuenta que el problema está formulado en coordenadas cilíndricas. Estudiar las comandos \verb+meshgrid+, \verb+mesh+ y \verb+surf+ de Matlab. 

Probar los programa con $z_0=0,z_1=1,r_0=r_1=1$, e ir experimentando con variaciones en $r_j$ y en $z_1$. ¿Qué sucede cuando $z_1$ es demasiado grande?¿Por qué?

Para el caso $z_0=0,z_1=1,r_0=r_1=1$ realizar un gráfico comparando la velocidad de convergencia de los distintos métodos. 

Graficando $r$ en función de $t$ se obtiene una aproximación de la catenaria.
\fej

\subsection*{Superficies mínimas}
En esta sección proponemos resolver problemas de superficies mínimas que se ajusten a la formulación usual \eqref{problem}, siendo $\Omega=[0,1]\times[0,1]$. De este modo: 
$$A(u) = \int_0^1\int_0^1 \sqrt{1+u_x^2+u_y^2}\; dx dy.$$

Para ello discretizaremos:
\begin{align*}0&=x_0<x_1<\dots<x_n<x_{n+1}=1\\
    0&=y_0<y_1<\dots<y_m<y_{m+1}=1,\end{align*}
    siendo $x_{i+1}-x_i = h_x$, $y_{j+1}-y_j = h_y$ constantes. De acuerdo con esta notación, la versión discretizada de $u$ será $u_{i}^j \sim u(x_i,y_j)$. Asumiremos que $u_{0}^j, u_{n+1}^j, u_{i}^0, u_{i}^{m+1}$ vienen dados por las condiciones de contorno, de modo que las variables serán $u_{i}^j$ para $1\le i\le n$, $1\le j\le m$. 
    
    Para poder interpolar $u$ con funciones lineales consideraremos una malla triangular en donde cada celda rectangular se divide en dos triángulos, con nodos:  $(x_i,y_j),(x_{i+1},y_j),(x_i,y_{j+1})$
    y $(x_{i+1},y_j),(x_{i+1},y_{j+1}),(x_i,y_{j+1})$ respectivamente. De este modo, asumiremos que $u$ es lineal en cada triángulo. 
    
    Las condiciones de contorno vendrán dadas por cuatro funciones continuas: $g_k:[0,1]\to\mathbb{R}$ $k=1,2,3,4$. $g_k$ corresponderá al lado $\ell_k$ de $\Omega$, donde $\ell_1=\{(1,t):\;0\le t\le 1\}$, y los demás se numeran en sentido antihorario. Las funciones $g_k$ deberán pegarse continuamente en los vértices de $\Omega$. 
    
    \bej Implementar un programa que reciba como input los parámetros $n$ y $m$ de la malla y las funciones $g_k$, $k=1,2,3,4$, y calcule el valor del funcional $A$ discretizado. 
    \fej
    \bej Implementar un programa que minimice $A$ utilizando el método de Tangentes Paralelas y grafique el resultado.
    \fej
    
    \subsection*{Problema del Obstáculo}
    El problema del obstáculo consiste en resolver \eqref{problem} agregando restricciones de la forma: $$u(x,y)\ge\varphi(x,y),$$
    donde $\varphi(x,y)$ representa un objeto que la superficie $u$ no puede atravesar. 
    
    Resolveremos el caso sencillo en que las restricciones adicionales son lineales. En particular, consideraremos el caso en que $\varphi = \alpha \chi_{\Omega_0}$ para algún $\Omega_0\subset\Omega$, $\alpha\in\mathbb{R}$.
    
    \bej Implementar un algoritmo que resuelva el problema del obstáculo utilizando el método del gradiente proyectado y grafique la solución.
    
    Considerar los datos: $\Omega_0=\big[\frac{1}{3},\frac{2}{3}\big]\times\big[\frac{1}{3},\frac{2}{3}\big]$, $\alpha = 0.8$ y 
    $$g_1(t) = t,\quad g_2(t) = t, \quad g_3(t) = 1-t, \quad g_4(t) = 1-t.$$
    \fej
    
     
    
    
  




 \end{document}