\documentclass[12pt]{article}
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% \usepackage[utf8x]{inputenc}



\newtheorem{ejer}{Ejercicio}
\newcommand{\bej}{\begin{ejer} \rm}
\newcommand{\fej}{\end{ejer}}


%    Definicion de caracteres especiales
\def\A{\mathbb{A}}
\def\C{\mathbb{C}}
\def \N{\mathbb{N}}
\def \P{\mathbb{P}}
\def \Q{\mathbb{Q}}
\def \R{\mathbb{R}}
\def \Z{\mathbb{Z}}

\def\zC{\mathbb{C}}

\def \zN{\mathbb{N}}
\def \zQ{\mathbb{Q}}
\def \zR{\mathbb{R}}
\def \zZ{\mathbb{Z}}

\def\gcd{\mbox{mcd}}

%\documentclass[12pt]{article}
%\include{amsfonts}

%    Definicion de caracteres especiales
%\def\zC{ C\hskip -6.5pt\vrule height 6.9pt width 0.9pt depth -0pt\hskip 3.5pt}
%\def\zQ{ Q\hskip -5.4pt\vrule height 6.9pt width 0.9pt depth -0pt\hskip 4pt}
%\def\zN{\hbox{$\displaystyle I\hskip -3pt N$}}
%\def\zn{\hbox{$\scriptstyle I\hskip -3pt N$}}
%\def\zR{\hbox{$\displaystyle I\hskip -3pt R$}}
%\def\zr{\hbox{$\scriptstyle I\hskip -3pt R$}}
%\def\zZ{\hbox{$\displaystyle Z\hskip -5pt Z$}}
%
\def\d{\displaystyle}


\topmargin-2cm \vsize=29.5cm \hsize=21cm
\setlength{\textwidth}{16cm} \setlength{\textheight}{23cm}
\setlength{\oddsidemargin}{0.0cm}
\setlength{\evensidemargin}{0.0cm}

\begin{document}
\thispagestyle{empty}

\noindent {\small Universidad de Buenos Aires - Facultad de
Ciencias Exactas y Naturales - Depto. de Matem\'atica}


\vskip 1cm

\centerline{{\bf\large {\sc Elementos de C\'alculo
Num\'{e}rico (M) - C\'alculo Num\'erico }}}

\centerline{{\ttfamily Primer Cuatrimestre 2015}}
%\centerline{\small Primer Cuatrimestre de 2008}

\bigskip

\centerline{\bf  Pr\'actica N$^\circ$4: Resoluci\'on de ecuaciones
no-lineales.  }

%\centerline{\bf \hskip 2.7 cm M\'etodo de Newton-Raphson (N-R).}
%\bigskip



\bej Implementar un programa que reciba como input una funci\'on $f$, dos n\'umeros $a,b$, 
y una tolerancia $tol$ y aplique el m\'etodo de bisecci\'on para aproximar una ra\'{i}�z de $f$ 
en el intervalo $[a,b]$, garantizando que el error cometido sea menor que $tol$. 
\fej

\bej Implementar un programa como el del ejercicio anterior para el m\'etodo de Regula Falsi. 
\fej

\bej Elegir un intervalo apropiado y utilizar los m\'etodos de bisecci\'on y Regula Falsi para 
hallar una ra\'{i}�z positiva de la ecuaci\'on trascendente:
$$
2x= \tan (x)
$$
>Cu\'antos pasos hay que hacer para garantizar que el error
sea menor que $10^{-5}$?
\fej

%\bej Para $f(x)= -2x^3 +6x -1$ se desea aproximar la ra\'\i z
%$r\in (0,1)$ utilizando el m\'etodo de bisecci\'on comenzando con
%$a_0=0$ y $b_0=1$. Determinar qu\'e cantidad de pasos son necesarios para asegurar que $|f(a_n)|< 10^{-100}$ y $|f(b_n)|< 10^{-100}$.
%\fej 

\bej Implementar un programa que reciba como input una funci\'on $f$, su derivada $f'$ y un punto 
inicial $x_0$ y aplique el m\'etodo de Newton-Raphson para buscar una ra\'{i}�z de $f$ a partir de $x_0$. \fej

\bej Implementar un programa que reciba como input una funci\'on $f$ y dos puntos $x_0$ y $x_1$ y 
aplique el m\'etodo de la secante para buscar una ra\'{i}�z de $f$ con datos iniciales $x_0$ y $x_1$. \fej

\bej Aproximar $\sqrt[3] 2$ utilizando el m\'etodo de bisecci\'on con intervalo inicial $[1,2]$,  
el m\'etodo 
N-R, comenzando con $x_0 = 2$ y el m\'etodo de la secante con $x_0=3$, $x_1=2$. 
\fej


%\item Calcular $\sqrt 2$ por los m\'etodos de bisecci\'on y N-R,
%con dos decimales significativos, acotando el error en cada paso.


\bej Considerar la funci\'on $\displaystyle
f(x)=\frac{x}{1+|x|}$. Determinar para qu\'e valores de $x_0$ la
iteraci\'on N-R es convergente, para cu\'ales es divergente, y
cu\'ando se obtienen ciclos peri\'odicos.
\fej

%\bej Sea $f$ una funci\'on $C^1$ y sea $(x_n)_{n\in \N}$ la
%sucesi\'on que se obtiene de aplicar el m\'etodo N-R a $f$.
%Supongamos que $x_n$ converge a $r$ y $f'(r)\ne 0$, mostrar que
%$r$ es ra\'\i z de $f$.
%\fej

\bej Demostrar que la ecuaci\'on
$$
f(x)= e^{x}+5\sin x-2=0
$$
tiene una \'unica ra\'{\i}z $r$ en el intervalo $(0,\frac 32)$.
Encontrar un valor inicial en este intervalo de modo que el
m\'etodo N-R converja a $r$ (para ello, calcular cotas necesarias
para $|f'|$ y $|f''|$ en el intervalo). Aplicar el m\'etodo para
hallar una aproximaci\'on de $r$.
% >Cu\'al es el orden de convergencia?
\fej


\bej
\label {concav} Sea $f$ una funci\'on suave, y $a$ tal que
$f(a)=0$, y
 $f'(a)\neq 0$. Suponiendo que en $(a,b]$, $f,\ f',\ f''$ son positivas,
 probar
que la iteraci\'on de N-R generada a partir de $x_0 \in (a,b)$
converge decrecientemente hacia $a$.
\fej

\bej La ecuaci\'on $x^3 + \cos(x) + 7x=0$ tiene una \'unica
ra\'\i z real. 
\begin{enumerate}[label=\alph*)] 
\item Demostrar que el m\'etodo de
Newton-Raphson converge para todo valor inicial en $(-1, 0)$.
\item  Demostrar que si $x_0 = -0.5$, el error
$n$-\'esimo es menor o igual que
$\frac{1}{2^{n+1}}$
\item Calcular cu\'antos pasos del m\'etodo son necesarios para
aproximar la soluci\'on con error menor o igual que $10^{-100}$.
\end{enumerate}
\fej

\bej Sea $f:\R \to \R, \ f(x)= (x+1)e^x -4$.

\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item Probar que el m\'etodo de Newton-Raphson es convergente para
todo $x_0 >1$.

\item Analizar la convergencia del m\'etodo si se toma como valor
inicial $x_0 = -3$.
\end{enumerate}
\fej

\bej
\item  Sea $f:\R\to\R$ con una \'unica ra\'{i}z $r$ y tal que $f'(x)> \delta>0$. Se desea 
aplicar el m\'etodo de Newton Raphson para hallar $r$.
\begin{enumerate}
\item Probar que si $f(x)>f'(x)(x-r)$ para todo $x>r$ entonces se tiene que $x_1<r$ para todo dato inicial $x_0 > r$. 
\item Probar que si $f''(x)<0$ para todo $x<r$, entonces el m\'etodo genera una sucesi\'on 
creciente que converge a $r$ para todo $x_0<r$. Concluir que si se cumplen ambas condiciones, el m\'etodo converge.
\item Probar que Newton Raphson converge a la \'unica ra\'{i}�z de  $f(x)=-e^{-x}+5x$ para todo dato inicial $x_0$. 
\end{enumerate}
\fej

%\bej  Sea $f(x)=x^{\alpha}$. Se desea utilizar el m\'etodo N-R para resolver la ecuaci\'on $f(x)=0$, 
% comenzando con $x_0> 0$. Analizar el comportamiento del m\'etodo en los casos (a) 
%$\alpha \geq 1$\hskip 2 cm (b) $\alpha = \frac 13$\hskip 2 cm (c) $\alpha = \frac 12$ \fej

%\bej
%\begin{enumerate}
%\item Sea $P(x)=(x-r_1)(x-r_2)\dots(x-r_d)$ donde $r_1<r_2<\cdots<r_d$. Probar que si $x_0 > r_d$ 
%la sucesi\'on de N-R converge a $r_d$.
%\item Para un polinomio $P \in \R[x]$, $P(x) = a_dx^d + \dots + a_0, a_d \ne 0$, tal que sus $d$ 
%ra\'{\i}ces son reales  y distintas, se propone el siguiente m\'etodo que aproxima los valores de todas sus ra\'{\i}ces: 
%\begin{enumerate}
%\item Se comienza con un valor $x_0$ mayor que $M=\max \{1,\sum_{i = 0}^{d-1} \frac{|a_i|}{|a_d|}\}$ 
%(Dato: $M$ es una cota para el m\'odulo de todas las ra\'\i ces del polinomio).
%\item Se genera a partir de $x_0$ la sucesi\'on de N-R, que, seg\'un el \'\i tem anterior, converge a 
%la ra\'\i z m\'as grande de $P$, llam\'emosla $r_d$; obteni\'endose de este modo un valor aproximado $\tilde r_d$.
% \item Se divide $P$ por $x -\tilde r_d$ y se desprecia el resto, dado que $r_d \sim \tilde r_d$. 
%Se redefine ahora $P$ como el resultado de esta divisi\'on y se comienza nuevamente desde el primer 
%\'\i tem, para hallar las otras ra\'{\i}ces.
%\end{enumerate}
% Aplicar este m\'etodo para aproximar todas las ra\'{\i}ces del polinomio $P(x) = 2x^3 - 4x + 1$.
%\end{enumerate}
%\fej



\bej Dada $F:\zR^n\to\zR^n$ el m\'etodo N-R generalizado consiste
en realizar la iteraci\'on vectorial $$x^{k+1}= x^k -
(DF|_{x^k})^{-1}.F(x^k),$$ donde $(DF|_{x^k})^{-1}$ es la inversa
de la matriz diferencial de $F$ evaluada en $x^k$.

Usar la versi\'on generalizada a varias variables del m\'etodo N-R
para para resolver el sistema de ecuaciones
$$2x - 3y = 0, \quad x^2 - y^2 - 3 = 0$$
comenzando con valores iniciales $(x_0, y_0) = (2,1)$.
%\begin{enumerate}
%\item $x^2 + y^2 =9, \quad x^2 - y^3 = 1.$ \item $x^2 - y^2 =3,
%\quad \sin x\sin y = \frac 12.$ \item $x + xy + y =0,\quad  x^2 +
%y^2 =1.$ \item $x + xy + xyz =1,\quad  x^2 - y^2 + z^3 = 3,\quad
%xy + yz =1.$
%\end{enumerate}
%Para los \'\i tems (a), (b) y (c) graficar la sucesi\'on de puntos
%obtenida.
\fej


\bej Aproximar la soluci\'on positiva de la ecuaci\'on $\cos(x)=2x$,
comenzando con $x_0 = 0.5$ y utilizando la iteraci\'on de punto
fijo $x_{n+1}= \frac 12 \cos (x_n)$. Graficar con {\tt Octave} la
sucesi\'on obtenida.
\fej

\bej Sea $f(x)= x^3 - x -1$. La ecuaci\'on $f(x) = 0$ tiene una \'unica ra\'\i z
en el intervalo $(1,2)$. Se consideran las dos siguientes
iteraciones del m\'etodo de punto fijo para aproximar dicha
ra\'\i z.

$$ g(x) =  x^3-1,\hskip 2cm h(x)=\sqrt[3]{x+1}.$$

 Determinar cu\'ales de estas funciones son apropiadas para
la iteraci\'on, y para aquellas que lo sean:

\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item Determinar un intervalo inicial $I$ en el cual el m\'etodo
converja.

\item Dar un valor inicial $x_0\in I$ y la cantidad de iteraciones
necesarias para aproximar la ra\'\i z de $f$ con error menor que
$10^{-5}$ comenzando con el $x_0$ dado.
\end{enumerate}
\fej

\bej Sea $f:\zR_{>0}\to\zR$ definida como $\d f(x)= \frac
{8x-1}x - e^x.$
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item Determinar, mediante gr\'aficos convenientes, el n\'umero de ra\'{i}�ces de $f$, 
localizando cada una de ellas entre dos enteros consecutivos.
\item Se proponen los siguientes dos m\'etodos de punto fijo:
$$ x_{n+1}= \frac 18 (1 + x_ne^{x_n}),\quad x_{n+1}= \ln\Big( \frac {8x_n-1}{x_n}\Big)$$
ambos con $x_0=1$. Estudiar si estas sucesiones convergen hacia alguna de las ra\'{i}�ces de $f.$

\item Implementar ambos m\'etodos y utilizarlos para estimar las ra\'{i}�ces de $f$.
\end{enumerate}
\fej

\bej Sea $g$ una funci\'on tal que $g'$ es continua en $[s, b]$,
donde $s$ es un punto fijo de $g$. Si adem\'as, se verifica que
$0\leq g'(x)\leq K<1$ para todo $x\in[s,b]$, mostrar que la
iteraci\'on, comenzando con $x_0\in [s,b]$, converge
decrecientemente a $s$.
\fej

\bej Sea $f$ una funci\'on $C^1$ en las condiciones del m\'etodo
N-R. Sea $g(x)= x - \frac{f(x)}{f'(x)}$. Mostrar que el m\'etodo
N-R es un m\'etodo de punto fijo.
\fej

\bej  Para $f$ una funci\'on $C^2$ que tiene una ra\'{\i}z de
orden $2$ en $r$:

\label{NRmod}

\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item Demostrar que el m\'etodo N-R converge s\'olo
linealmente a $r$ (Sugerencia: Notar que en este caso la $g$ del
ejercicio anterior no est\'a definida para $x = r$, redefinirla
como $g(r) = r$, probar la diferenciabilidad de $g$ y demostrar
que $g'(r) \ne 0$).

\item >Cu\'al es el orden de convergencia de la siguiente
modificaci\'on?
\[ x_{n+1}=x_n - 2 \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}\]
\end{enumerate}
\fej

\bej Sea $f(x) = 4x^3 - 3x +1 = 0$. La ecuaci\' on $f(x) = 0$
tiene una ra\'\i z doble. Aproximarla calculando las 10 primeras
iteraciones de los m\'etodos N-R y N-R con la modificaci\'on del
ejercicio \ref{NRmod}, comenzando con los valores iniciales $x_1 =
y_1 = 25$. Graficar simult\'aneamente las dos sucesiones
obtenidas. 
%Calcular num\'{e}ricamente el orden de convergencia para
%ambos m\'{e}todos.
\fej

%\bej Recordar que una ra\'{\i}z m\'ultiple de un polinomio $f$ es %una ra\'{\i}z simple 
%del polinomio $\displaystyle f/\gcd(f,f')$, %donde $\gcd$ indica el m\'aximo com\'un divisor. 
%para hallar la ra\'{\i}z m\'ultiple de \[f(x)=(x-1)(x-2)^2.\] Demostrar que, a pesar que la 
%funci\'on $f$ no est\'a en las hip\'otesis del m\'etodo N-R, \'este converge (aunque no tan 
%velozmente como cuando la ra\'\i z m\'ultiple se halla como soluci\'on de $f/\gcd(f,f')$).  \fej

\bej  Dada la funci\'on $f(x)=x+\frac{1}{x}-2$, $f:\zR_{>0} \to \zR$,
se construye el siguiente algoritmo para aproximar la ra\'{\i}z
$r=1$:
$$x_{n+1}=2-\frac{1}{x_n}$$
Verificar que si $x_0>1$ entonces la sucesi\'on $\{x_n\}$
es mon\'otona decreciente y acotada inferiormente por 1. Concluir
que $x_n\rightarrow 1$, aunque esta iteraci\'on no est\'a en las
hip\'otesis del teorema del punto fijo. ¿Qu\'e hip\'otesis no se
cumple?
\fej

%\bej Con las mismas hip\'otesis que en el ejercicio \ref{concav}, probar que si $x_1\in (a,x_0)$, 
%la sucesi\'on generada por el m\'etodo de la secante a partir de $x_0$ y $x_1$ converge decrecientemente hacia $a$. \fej

\bej Se quiere resolver la ecuaci\'on $f(x) = 0$, donde $f(x) =
e^x - 2$. Calcular los 10 primeros t\'erminos de las sucesiones
generadas por los m\'etodos N-R y de la secante, comenzando con
los valores iniciales $x_1 = 3$ para el primer m\'etodo  e $y_1 =
3, y_2 = 2.3$ para el segundo. Graficar simult\'aneamente las dos
sucesiones obtenidas. 
\fej

\bej Se quiere aplicar el m\'etodo N-R para dar una tabla de
valores de la funci\'on $y(x)$ definida impl\'\i citamente por la
ecuaci\'on $G(x,y)=0$ en un intervalo $[a, b]$.

El m\'etodo consiste en comenzar la tabla en un par de valores
$x_0, y_0$ que verifican $x_0 = a$ y $G(x_0,y_0)=0$ y proceder por
incrementos en $x$ hasta llegar al valor  $x_N = b$.

En cada paso se obtiene el valor de $y_{n+1}$ aplicando el
m\'etodo N-R a la funci\'on $G(x_{n+1}, y)$ donde $y$ es la
variable y $x_{n+1}$ permanece fijo; con valor inicial el valor de
$y_n$ obtenido en el paso anterior. Dado que la funci\'on $y(x)$
se supone continua, esta elecci\'on del valor inicial se supone
apropiada.

\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item Aplicar el m\'etodo para la ecuaci\'on $G(x,y)= x^2 + y^2
-1=0$, comenzando en $x_0=0, y_0=1$ para valores de $x$ en
$[0,1]$. Graficar junto con la soluci\'on que se obtiene de
despejar anal\'\i ticamente y comparar. Utilizar distintos valores
para el incremento y para la cantidad de iteraciones del m\'etodo
N-R en cada paso.

\item Aplicar el m\'etodo para $G(x,y)=3x^7 + 2y^5 -x^3 + y^3 -3.$
Comenzar la tabla en $x_0=0, y_0=1$ y proceder por incrementos en
$x$ de $0.2$ hasta llegar a $x_{50}=10.$
\end{enumerate}
\fej

\end{document}
