\documentclass[12pt]{article}
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\usepackage{enumitem}
\usepackage[utf8x]{inputenc}

% Caracteres especiales
\def\A{\mathbb{A}}
\def\C{\mathbb{C}}
\def \N{\mathbb{N}}
\def \P{\mathbb{P}}
\def \Q{\mathbb{Q}}
\def \R{\mathbb{R}}
\def \Z{\mathbb{Z}}

\def\zC{\mathbb{C}}
\def \zN{\mathbb{N}}

\def \zQ{\mathbb{Q}}
\def \zR{\mathbb{R}}
\def \zZ{\mathbb{Z}}

%  Ejercicio:
\newtheorem{ejer}{Ejercicio}
\newcommand{\bej}{\begin{ejer} \rm}
\newcommand{\fej}{\end{ejer}}


%
\def\d{\displaystyle}


\topmargin-2cm \vsize 29.5cm \hsize 21cm
\setlength{\textwidth}{16.5cm} \setlength{\textheight}{23.5cm}
\setlength{\oddsidemargin}{0.0cm}
\setlength{\evensidemargin}{0.0cm}

\begin{document}
\thispagestyle{empty}

\centerline{{\small Universidad de Buenos Aires - Facultad de
Ciencias Exactas y Naturales - Depto. de Matem\'atica}}

\vskip 1cm

\centerline{{\bf\large {\sc Elementos de C\'alculo
Num\'{e}rico (M) - C\'alculo Num\'erico }}}

\centerline{{\ttfamily Primer Cuatrimestre 2015}}


\bigskip

\centerline{\bf  Pr\'actica N$^\circ$1: Aritm\'etica de punto
flotante. Error de redondeo.}
\bigskip



\bej 

\begin{enumerate}[label = \alph*)]

\item Hallar el l\'\i mite y calcular el
orden de convergencia de las siguientes sucesiones:
$${\rm (i)} \quad a_n = \Big(\frac12\Big)^n \quad \quad
{\rm (ii)} \quad b_n = \Big(\frac56\Big)^{n^2} \quad \quad {\rm
(iii)} \quad c_n = \Big(\frac{9}{10}\Big)^{2^n} \quad \quad$$
%$\begin {array}{c c c c c c c c}  \end {array}$

\item Hacer un programa en {\tt Octave} que calcule los primeros
25 t\'erminos de las sucesiones del \'\i tem anterior y observar
la velocidad con la que cada una de ellas tiende al l\'\i mite.
\end{enumerate}
\fej

\bej  Sea $(a_n)_{n \in \N}$ una sucesi\'on de n\'umeros reales
con l\'\i mite $l$. Demostrar que si existen $p, c \in \R, \ p, c
> 0$ tales que
$$ \lim_{n \to \infty} \frac{|a_{n+1} - l|}{|a_{n} - l|^p} = c,$$
entonces el orden de convergencia de la sucesi\'on es exactamente
$p$.
\fej

\bej Decidir cu\'ales de las siguientes afirmaciones son ciertas:
%$$\begin{array}{lcl} {\rm (i)} \ \frac{n+1}{n^2} = O(\frac1n)
%&\quad  & {\rm (ii)} \   \frac1n = o(\frac{1}{n \ln n})  \\
%{\rm (iii)} \ \frac{1}{n \ln n} = o(\frac1n) &\quad  & {\rm (iv)}
%\  \sqrt{x^2 + 1} = O(x) \quad (x \to \infty)   \\
%{\rm (v)} \ \frac{1}{x^2} = O(\frac{1}{x}) \quad  (x \to 0) &\quad
%& {\rm (vi)}
%\  \frac{1}{x} = o(\frac{1}{x^2}) \quad  (x \to 0)   \\
%\end{array}$$
\begin{enumerate}[label = \alph*)]
\begin{multicols}{2}
\item $\frac{n+1}{n^2} = O(\frac1n)$ \item $\frac1n = o(\frac{1}{n
\ln n})$ \item $\frac{1}{n \ln n} = o(\frac1n)$ \item $\sqrt{x^2 +
1} + \sin(x) = O(x) \quad  \quad \quad   (x \to \infty)$ \item
$\frac{1}{x^2} = O(\frac{1}{x}) \quad \quad \quad  (x \to 0)$
\item $\frac{1}{x} = o(\frac{1}{x^2}) \quad \quad \quad   (x \to
0)$
\end{multicols}
\end{enumerate}
\fej


\bej Sea $(x_n)_{n \in \N}$ una sucesi\'on de n\'umeros reales.
Demostrar que $x_n =
 x + o(1)$ si y s\'olo si $\lim\limits_{n \to
\infty} x_n = x.$
\fej

\bej Demostrar que:
\begin{enumerate}[label = \alph*)]
\item $\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + O(x^4) \quad \quad \quad  \ \
(x \to 0)$ \item $\sin(x) = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5) \quad \quad
\quad  \ \ (x \to 0)$
\end{enumerate}
\fej



\bej \label{redon} Utilizando el m\'etodo de redondeo:

\begin{enumerate}[label = \alph*)]
\item  Hallar el n\'umero de m\'{a}quina m\'{a}s pr\'{o}ximo a $125.6$ y a
 $126$
si trabaja con

\begin{itemize}
\item  {\rm Base 10 y mantisa de 2 d\'{\i }gitos. }

\item  {\rm Base 2 y mantisa de 8 d\'{\i }gitos. }
\end{itemize}


\item  {\rm Verificar, para $x=125.6$, la conocida cota para el
error relativo
\[
\Big|\frac{x-fl(x)}x\Big|\leq \varepsilon
\]
si $\varepsilon=1/2\beta ^{1-d}$ donde $\beta $ es la base y $d$ la
longitud de la mantisa. }

\item >Cu\'al es, en cada caso, el valor que da la m\'aquina como
resultado de las operaciones $126 + 125.6$ y $126 - 125.6$?
>Cu\'al es el error relativo de estos resultados?

\end{enumerate}
\fej

%\bej Rehacer el Ejercicio \ref{redon} utilizando el m\'etodo de truncamiento y el $\varepsilon$
%corres\-pondiente, es decir: $\varepsilon =\beta ^{-d+1}$, donde $\beta
%$ y $d$ son como antes.
%\fej

%\bej  Calcular para ambos m\'etodos el valor que devuelve la m\'aquina al  calcular $\beta +\varepsilon $. \fej

\bej Mostrar que $fl(x)$ tiene (para ambos m\'etodos) una
escritura de la forma $$fl(x)= x( 1 + \delta_x)$$ donde
$|\delta_x| \leq \varepsilon.$ (Usar la cota para el error relativo).
\fej

\bej \textbf{P\'{e}rdida de d\'{\i }gitos significativos}: 

\begin{enumerate}[label = \alph*)]
\item   Si $x$ e $y$ tienen el mismo signo, demostrar que
\[
\Big|\frac{x+y-fl(fl(x)+fl(y))}{x+y}\Big|\leq 2\varepsilon +
\varepsilon^2.
\]

Observar que en la expresi\'on $2\varepsilon + \varepsilon^2$ el valor
de $\varepsilon^2$ es despreciable dado que $\varepsilon$ es peque\~no.

\item  Si $x$ e $y$ no poseen el mismo signo, >puede repetir la misma
cuenta? (Sugerencia: recordar el error relativo de $126 - 125.6$
en el ejercicio \ref{redon}, item (c), utilizando la computadora
binaria con mantisa de 8 d\'\i gitos.)
\end{enumerate}
\fej

\bej
\begin{enumerate}[label = \alph*)]
  \item
    Sean $a$ y $b$ dos números de máquina. Demostrar que el error relativo que se comete al calcular $a^2b$ 
    con aritmética de punto flotante se puede acotar por
    $2\varepsilon+O(\varepsilon^2)$.
    
  \item 
    Demostrar que si en cambio $a,b\in\R$ son dos números reales arbitrarios, entonces dicho error 
    se puede acotar por $6\varepsilon+O(\varepsilon^2)$.

%\item  {\rm Calcule para $x=126$ e $y=125.6$, trabajando con base 2 y
%mantisa de 8 d\'{\i }gitos
%\[
%|\frac{x-y-fl(fl(x)-fl(y))}{x-y}|
%\]
%}
\end{enumerate}
\fej

\bej Un ejemplo que muestra que algunas de las reglas de la
aritm\'{e}tica no son v\'{a}lidas para operaciones de punto
flotante.

\begin{enumerate}
\item Intentar anticipar el resultado de los siguientes
c\'alculos:

$\begin{array}{lcl} {\rm (i)} \ (1 + \frac \varepsilon 2) + \frac
\varepsilon 2
&\quad  & {\rm (ii)} \ 1 + (\frac \varepsilon 2 + \frac \varepsilon 2) \\
{\rm (iii)} \ \big((1 + \frac \varepsilon 2) + \frac \varepsilon 2\big)
- 1 & \quad & {\rm (iv)} \ \big( 1 + (\frac \varepsilon 2 + \frac
\varepsilon 2)\big) -1
\end{array}$

\item Efectuar estos c\'alculos usando {\tt Octave} y comprobar
las predicciones hechas.

\end{enumerate}
\fej

\bej Hallar la ra\'{\i }z menor en m\'{o}dulo de la
ecuaci\'{o}n
\[
x^2 -40x+ 0.25=0,
\]
utilizando aritm\'{e}tica de 4 d\'{\i }gitos y comparar con el
resultado obtenido utilizando a\-rit\-m\'{e}\-ti\-ca exacta.
Calcular el error relativo y asegurarse de comprender de d\'{o}nde
viene la p\'{e}rdida de d\'{\i }gitos significativos.
\textquestiondown Se le ocurre c\'omo calcular con mayor
precisi\'{o}n dicha ra\'{\i }z? >Cu\'al es el error relativo con
el nuevo m\'etodo?

% {\bf Sug.:} Estudiar el \verb+help+ de los comandos \verb+digits+ y \verb+vpa+ de Matlab.
\fej

\bej {\rm Hallar una forma de calcular sin p\'{e}rdida de d\'{\i
}gitos significativos las si\-guien\-tes cantidades, para $x \sim 0$:
%tal como se indica en cada caso:

$
\begin{array}{llc}
{\rm (a)}\quad & \displaystyle (\alpha +x)^n-\alpha ^n &   \\
{\rm (b)} &\displaystyle  \alpha -\sqrt{\alpha^2- x } &   \\
{\rm (c)} &\displaystyle \cos x - 1 & \\
{\rm (d)} &\displaystyle \sin (\alpha +x)-\sin (\alpha ) &
\end{array}
$}


%\item {\rm \textquestiondown Cu\'{a}ntos d\'{\i }gitos tiene su
%calculadora de mano? Calcular las ra\'{\i }ces de
%\[
%x^2-4x+3.99999999....=0
%\]
%con tantos nueves como entren en su calculadora. Estime el resultado exacto
%y compare con lo obtenido.  Analice las fuentes de error. \newline
%(Sug.: escriba la ecuaci\'{o}n en la forma
%\[
%(x-2)^2=10^{-k}
%\]
%para alg\'{u}n $k$ adecuado). }
\fej

\bej  Se pretende calcular las sumas $S_N =\sum_{k=1}^N a_k$ con
$N\in\zN$. Llamemos $\widehat{S_N}$ al valor calculado que se
logra de hacer $fl(\widehat{S_{N-1}} + a_N)$.
\begin{enumerate}
\item $ \d S_N=\sum_{k=1}^N\frac 1k$.\ Mostrar que $\widehat{S_N}$
se estaciona a partir de alg\'un $N$ suficientemente grande.
Deducir que a partir de entonces $S_N\neq \widehat{S_N}$.

\item Idem (a) para la suma $\d S_N=\sum_{k=1}^N \frac {2^{-k
+100} + 1}k$. \ Encontrar, haciendo un programa en {\tt Octave},
el valor de $N$ para el cual $\widehat{S_N}$ se estaciona.

\end{enumerate}
\fej

%Hacer un programa que pretenda estimar el valor de Para $x=0$,
%graficar las sumas parciales de los tres m\'etodos. El valor
%$\frac{\pi^2}{6}$ equivale a $\Phi(0)$, donde

%Intentar una manera m\'as astuta de hacer la suma usando que:
%
%\[ \frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1} \]
%para probar que $\Phi (1)=1$. Luego expresar $\Phi(x)-\Phi(1)$
%como una serie infinita $\Psi(x)$, que converja m\'as
%r\'apidamente que la que define $\Phi(x)$.
%Repetir este mecanismo
%para obtener una serie que converja a\'un con mayor velocidad que
%$\Psi(x)$ usando $\Psi(2)$.
%\item {\rm Recordemos la f\'{o}rmula para la suma de una serie
%geom\'{e}trica:
%\[
%G_N=\sum_{k=0}^Nr^k=\frac{(1-r^{N+1})}{1-r}=Q_N
%\]
%donde $r\neq 1$. }
%{\rm Escribir un programa que calcule $G_N$ y $Q_N$ para $r,\ N$
%cualesquiera. Tomar un $r$ pr\'{o}ximo a 1 (p.ej. $N=1000$,
%$r=1-10^{-12}$),
%y observar las diferencias entre ambos n\'{u}meros. \textquestiondown %
%Cu\'{a}l de los dos valores obtenidos le parece m\'{a}s confiable? Analice.
%\textquestiondown Da lo mismo sumar }$G_N$ {\rm en un sentido o en el otro?%
%\textquestiondown por qu\'{e}?.}

\bej  El desarrollo de Taylor de la funci\'on $e^x$ proporciona
una forma muy inestable de calcular este valor cuando $x$ es
negativo. Hacer un programa en {\tt Octave} que estime $e^{-12}$
evaluando el desarrollo de Taylor hasta grado $n$ de la funci\'on
$e^x$ en $x = -12$, para $n = 1, \dots, 100$. Comparar con el
valor exacto: $0.000006144212353328210\ldots $ \
>Cu\'ales son las principales fuentes de error? Realizar otra estimaci\'on
 de
$e^{-12}$ con alg\'un otro m\'etodo que evite los problemas del
m\'etodo anterior (Sugerencia: Considerar $e^{-x}=1/e^x$).
\fej

\bej {\rm Calcular en {\tt Octave} los valores: sen($\pi /2+2\pi
10^j$) con $1\leq j\leq 25$. \textquestiondown Cu\'{a}nto
deber\'{\i }a dar? \textquestiondown Qu\'{e} est\'{a} pasando?}
\fej


\end{document}

\bej *\textbf{Aproximaci\'{o}n de la derivada de una funci\'{o}n}:

\begin{enumerate}
\item Llamamos derivada discreta de $f$ en $x = 1$ al valor
$$d_hf(1) =
\frac{f(1+h)-f(1)}h.$$Utilizando el desarrollo de Taylor,
demostrar que
\[
|f^{\prime }(1)-d_hf(1)| \le |f^{\prime \prime }(1)|\frac{h}2+o(h)
\quad \quad \quad (h\to 0)
\]
siempre que $f$ sea suficientemente derivable.

\item Considerar la funci\'on $f(x) = x^2$. Hacer un programa en
{\tt Octave} que calcule los valores de $d_hf(1)$ para aproximar
$f'(1)$, d\'andole a $h$ los valores $10^{-18},$ $10^{-17.9},$
$10^{-17.8}, \dots,$ $10^{-1}$ y grafique los resultados
obtenidos. Decidir si \'estos se contradicen con el resultado del
\'\i tem anterior. Hacer un an\'alisis de los c\'alculos
efectuados para calcular $d_hf(1)$, teniendo en cuenta que la
m\'aquina utiliza aritm\'etica de punto flotante.

\item Repetir el \'\i tem anterior, d\'andole
otros valores a $h$, de modo que el resultado resulte m\'as
confiable.

%\item  Repetir el an\'alisis anterior para la siguiente aproximaci\'{o}n de
%$f^{\prime }$:
%\[
%f^{\prime }(x)\sim \frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}
%\]
%conocida como diferencia centrada y comparar.

%\item Repetir el item anterior con $f(x)=x^3$.
% Analice el error de la aproximaci\'on. >Cu\'al es ahora el mejor valor de $h$?}

\end{enumerate}
\fej


\bej * \textbf{Las funciones de Bessel $J_n$}: Se pueden definir del
siguiente modo:
\[
J_n(x)=\frac 1\pi \int_0^\pi \cos(x \sin\theta -n\theta )d\theta.
\]
y verifican que $|J_n(x)|\leq 1$. Se sabe adem\'as que $%
J_{n+1}(x)=2n/xJ_n(x)-J_{n-1}(x)$. Con los valores estimados
$J_0(1)\sim 0.7651976865$, $J_1(1)\sim 0.4400505857$ y la
recurrencia dada, hacer un programa en {\tt Octave} para calcular
$J_2(1)$, $J_3(1)$, $\ldots, J_{10}(1) $. Decidir si la condici\'{o}n $%
|J_n(x)|\leq 1$ deja de satisfacerse. \textquestiondown Qu\'{e}
esta sucediendo? 
\fej

\bej * Dada la funci\'on $\Phi:\zR \to \zR$ definida por
\[ \Phi(x)=\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k(k+x)}, \]
consideramos las siguiente dos maneras de estimar num\'ericamente
el valor de $\Phi(x)$ para un $x$ fijo:
\begin{itemize}
\item sumar los primeros $n$ t\'erminos de la serie $\Phi(x)$,
\item teniendo en cuenta que $\Phi (1)=1$, definir
$$
\Psi(x) = \Phi(x)-\Phi(1) = \sum_{k=1}^\infty (\frac{1}{k(k+x)} -
\frac{1}{k(k+1)}) = \sum_{k=1}^\infty \frac{1-x}{k(k+1)(k+x)},
$$
luego expresar $\Phi(x) = 1 + \Psi(x)$ y, de este modo, estimar
$\Phi(x)$ como $1$ m\'as la suma de los primeros $n$ t\'erminos de
la serie $\Psi(x)$.
\end{itemize}

Predecir cu\'al de las dos maneras converge m\'as r\'apidamente.
Luego, hacer un programa que calcule y grafique el resultado
obtenido con los dos m\'etodos propuestos para calcular $\Phi(0)$,
con $n = 1, \dots, 100$. Comparar con el resultado exacto, que es
$\frac{\pi^2}6$.
\fej

\bej *\textbf{Algoritmo para calcular $\pi $}:

Comenzar inicializando las variables $a, b, c, d$ y $e$ del
siguiente modo: $a=0$, $b=1$, $c=1/\sqrt{2}$, $d=1/4$, $e=1$.
Luego, iterar $n$ veces en el orden dado las siguientes
f\'{o}rmulas:
\[
a=b,\ \ \ \ b=\frac{b+c}2,\ \ \ \ c=\sqrt{ca},\ \ \ \
d=d-e(b-a)^2,\ \
 \ \ e=2e.
\]
Finalmente, el valor de $\pi$ puede estimarse como $f=b^2/d$,  o
como $g=(b+c)^2/(4d)$.

Hacer un programa que calcule los valores de $\pi$ estimados por
$f$ y $g$ cuando $n = 1, 2, \dots, 10$. \textquestiondown Qu\'e
estimaci\'on converge m\'{a}s r\'{a}pido? \textquestiondown
Cu\'{a}n precisos son sus resultados? El valor de $\pi $ correcto
hasta 36 d\'{\i }gitos es
\[
\pi =3.14159265358979323846264338327950288
\]

\fej




