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\topmargin -1.5cm \oddsidemargin 0.2cm \textheight 24.5cm
\textwidth 16cm
\parindent 0cm

\def\noi{\noindent}
\def\sm {\smallskip}
\def\ms {\medskip}
\def\bs {\bigskip}
\def\Ker {{\rm Ker}}
\def\Im {{\rm Im}}
\def\N {\mathbb{N}}
\def\Z {\mathbb{Z}}
\def\Q {\mathbb{Q}}
\def\R {\mathbb{R}}
\def\C {\mathbb{C}}

\begin{document}
\large
\centerline{\bf Cálculo Numérico - Primer Parcial}

\normalsize
\centerline{Primer cuatrimestre de 2013 (13/5/2013)}

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\centerline{\footnotesize{\begin{tabular} [c]{|c|c|c|c|c|c|}\hline Nombre y Apellido & 1 & 2 & 3
& 4 & Nota\\\hline \hspace{5.4cm} & \hspace{1.2cm} &\hspace{1.2cm}
&\hspace{1.2cm} &\hspace{1.2cm} &\hspace{1.5cm}
\\ &  &  & & &
\\\hline
\end{tabular}}}
\centerline{\tiny {Justificar todas las respuestas y escribir prolijo. Duraci\'on 4 horas.}}

\normalsize
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\bigskip

\begin{enumerate}
%%%Ejercicio 1
\item Números de máquina
  \begin{enumerate}
  \item
    Sean $a$ y $b$ dos números de máquina. Demostrar que el error relativo que se comete al calcular $a^2b$ 
    con aritmética de punto flotante se puede acotar por
    $2\varepsilon+O(\varepsilon^2)$,
    donde $\varepsilon$ es el épsilon de máquina asociado a una aritmética de punto flotante.

  \item 
    Demostrar que si en cambio $a,b\in\R$ son dos números reales arbitrarios, entonces dicho error 
    se puede acotar por $5\varepsilon+O(\varepsilon^2)$.
 \end{enumerate}
 %%Idea: escribir cada fl(x) como x(1+delta)

\bigskip

%%%Ejercicio 2


\item Sea $A_n\in\mathbb{R}^{n\times n}$ la matriz dada por $A_n=(a_{i,j})$, 
$$a_{i,j}=\left\{\begin{array}{cl}
                  1&\textrm{si }i=1\textrm{ \'o }j=1\\
                  1/i &\textrm{si }i=j\\
                  0 & \textrm{en otro caso}
                 \end{array}\right.
$$
\begin{itemize}
 \item[a)] Probar que $Cond_\infty(A_n)\ge Cn^2$ para alguna constante $C>0$, independiente de $n$.
 \item[b)] Probar que $Cond_2(A_n)\longrightarrow\infty$ cuando $n\longrightarrow\infty$.
\end{itemize}


%\item 
  %Sea $A$ la siguiente matriz
  % $$A=\begin{pmatrix}
   %-2&-6&24\\
   %-9&-16&69\\
   %-3&-6&25
   %\end{pmatrix}$$
   %Sabiendo que $1$ es un autovalor de $A$
   %calcule su radio espectral y halle una norma inducida que lo realice.
%%1,2,4 autovalores y (2,3,1) (1,10/3,1) (1,3,1) autovectores.

\bigskip

%%%Ejercicio 3
\item 
  Sea $A$ la siguiente matriz
   $$A=\begin{pmatrix}
   -122& -19& 44& 23\\
   24& 176& 23& -7\\
   84& -49& -162& -50\\
   30& 97& 86& 186
   \end{pmatrix}$$
   Demuestre que el método de Jacobi asociado a la resolución de un sistema lineal del tipo $Ax=b$, resulta convergente.
   %%Calcular la norma 1 de la matriz de jacobi. es menor a 1, luego su radio espectral tambien.

\bigskip

%%%Ejercicio 4
\item
   Considere la función $f:\R\rightarrow\R$ dada por $f(x) = x^3-4x^2-4x+16$
   %$f(x)=x^3-7x^2+14x-8$.
   \begin{enumerate}
     \item Demuestre que $f$ tiene exactamente tres raíces reales diferentes, $r_1<r_2<r_3$.
     \item Demuestre que si $x_0\in(-\infty,r_1)$ el método de Newton-Raphson converge a $r_1$. De la misma manera
            demuestre/indique que si $x_0\in(r_3,+\infty)$ el método de Newton-Raphson converge a $r_3$.
     \item Halle un intervalo $J$ tal que si $x_0\in J$, el método de Newton-Raphson converge a $r_2$.
     %%(1.6,2.8) tiende a 2
   \end{enumerate}
\end{enumerate}



\end{document}
