Teorema de Fermat - Práctica 4

1er. Cuatrimestre 2011

1. Denotemos por SL_{2}(ℤ) el grupo de matrices de 2 × 2 con coeficientes enteros y determinante 1. Sea

Π = {z ∈ 𝔥 : |z| ≥ 1 , |ℜ(z)| ≤ 1/2}.

a) Probar que Π es un dominio fundamental para la acción de SL_{2}(ℤ), o sea que dado z ∈ 𝔥, existe g ∈ SL_{2}(ℤ) tal que g · z ∈ Π, y que además si z, g · z ∈ Π (y z ≠ g · z) entonces ℜ(z) = 1/2 y g · z = z ± 1 ó |z| = 1 y g · z = −1/z. Hint: dado z ∈ 𝔥, probar que existe g ∈ SL_{2}(ℤ) que hace que ℑ(g · z) sea máxima. Luego el trasladado de g · z con parte real entre −1/2 y 1/2 está en Π.

b) Ver que el elemento del Hint del ítem anterior en realidad se puede elegir en el subgrupo ⟨S, T ⟩, done T = ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) y S = ( \begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ). Deducir que SL_{2}(ℤ) está generado por S y por T.

c) Probar que si z ∈ Π es tal que su estabilizador es contiene propiamente a {±1} entonces z es uno de los siguientes:

z = i  Stab(z)/⟨±1⟩ = ⟨S⟩,
z = −\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i Stab(z)/⟨±1⟩ = ⟨( \begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 1 \end{matrix} )⟩,
z = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i Stab(z)/⟨±1⟩ = ⟨( \begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & −1 \end{matrix} )⟩.

2. Probar que SL_{2}(ℤ) actúa transitivamente en el conjunto de cúspides ℙ^{1}(ℚ).

3. Sea k ≥ 4 un numero natural par. Definimos la serie de Eisenstein G_{k}(z) = ∑_{(m,n)≠(0,0)} \frac{1}{(mz+n)^{k}}. Vimos que si definimos

E_{k}(z) = \frac{G_{k}(z)}{2ζ(k)},

donde ζ(n) es la función zeta de Riemann, entonces E_{k}(Z) tiene expansión de Fourier

E_{k}(z) = 1 + \frac{2k}{B_{k}} ∑_{n≥1} (∑_{d|n} d^{k−1}) q^{n}.

Probar que E_{k} es autofunción para los operadores de Hecke. ¿Qué autovalor tiene el operador T_{p}?

4. Probar que si p | N, entonces

T_{p}^{∗} = [ω_{N}^{−1}]_{k}T_{p}[ω_{N}]_{k},

donde T_{p}^{∗} es el adjunto del operador de Hecke actuando en el espacio de formas modulares de peso k y nivel N, y donde ω_{N} = ( \begin{matrix}0 & −1 \\ N & 0 \end{matrix} ).

5. Probar que si g ∈ S_{k}(Γ_{0}(N)), d ∈ ℕ, entonces

g(dz)|_{k}[ω_{Nd}] = d^{k−1}(g|_{k}[ω_{N}])(dz).

6. Si p | N, probar que el siguiente diagrama commuta

\xymatrix{S_{k}(Γ_{0}(N/p) × S_{k}(Γ_{0}(N/p) \ar[r]^{^{( \begin{matrix}T_{p} & p^{k−1} \\ −1 & o \end{matrix} )}} \ar[d]_{i_{p}} & S_{k}(Γ_{0}(N/p) × S_{k}(Γ_{0}(N/p) \ar[d]^{i_{p}} \\ S_{k}(Γ_{0}(N) \ar[r]^{ω_{N}} & S_{k}(Γ_{0}(N)}

donde i_{p}(f, g) = f(z) + p^{k−1}g(pz).

7. En este ejercicio (guiado) demostraremos multiplicidad 1 del espacio de formas nuevas. Dado d ∈ ℕ, denotemos por i_{d} : S_{k}(Γ_{0}(N)) ↦ S_{k}(Γ_{0}(N)) la función i_{d}(f)(z) = f(dz). Asumiremos el siguient resultado (Teorema 5.7.1 de Diamond y Shurman “A first course in modular forms”:

Teorema 1. Si f ∈ S_{k}(Γ_{0}(N)) tiene expansión de Fourier dada por f(z) = ∑_{n} a_{n}(f)q^{n} y es tal que a_{n}(f) = 0 para todo n coprimo con N, entonces f = ∑_{p|N} i_{p}(f_{p}) para formas f_{p} ∈ S_{k}(Γ_{0}(N/p)) (o sea es una forma vieja).

a) Deducir del Teorema que si f ∈ S_{k}(Γ_{0}(N)) es autofunción para los operadores de Hecke T_{n} con (n : N) = 1 es tal que a_{1}(f) = 0 entonces f es una forma vieja.

b) Supongamos que f ∈ S_{k}^{new}(Γ_{0}(N)) es no nula y autofunción para los operadores de Hecke T_{n} con (n : N) = 1. Normalicemos f tal que a_{1}(f) = 1, y consideremos para cada m ∈ ℕ la función g_{m} = T_{m}(f) − a_{m}(f)f. Probar que g_{m} ∈ S_{k}^{old}(Γ_{0}(N)) ∩ S_{k}^{new}(Γ_{0}(N)). Deducir que entonces f es autofunción para todos los operadores de Hecke T_{m}.

c) Probar que si f y g son dos formas nuevas autofunciones para los operadores de Hecke T_{n} con (n : N) = 1 y con igual autovalor entonces existe c ∈ ℂ tal que f = cg.