Teorema de Fermat - Práctica 3

1er. Cuatrimestre 2011

Notaremos por K un cuerpo arbitrario.

1. Sea P_{Λ}(z) la función de Weierstrass. Probar que el desarrollo de Laurant en el punto z = 0 esta dado por

P_{Λ}(z) = \frac{1}{z^{2}} + ∑_{n=1}^{∞}(2n + 1)G_{2n+2}(Λ)z^{2n},

donde para n ≥ 4, G_{n}(Λ) = ∑\begin{matrix}w∈Λ \\ w≠0 \end{matrix} \frac{1}{w^{n}}.

2. Usando el desarrollo anterior, probar que P_{Λ}(z) y su derivada satisfacen la ecuación

P′_{Λ}(z)^{2} = 4P_{Λ}(z)^{3} − 60G_{4}(Λ)P_{Λ}(z) − 140G_{6}(Λ).

3. Sea E/ℚ una curva elíptica dada por un modelo entero (i.e. una ecuación con coeficientes en ℤ) y sea p un número primo. Probar que si E tiene reducción multiplicativa en p, entonces el modelo es minimal en p.

4. Dados A, B, C enteros no nulos, que satisfacen A+B = C y gcd(A, B) = 1, definimos la curva elíptica

E_{A,B,C} : y^{2} = x(x + A)(x − B).

Probar que el discriminante de una ecuación minimal de E_{A,B,C} es 2^{4}(ANB)^{2} o 2^{−8}(ABC)^{2}. (sugerencia: considerar los posibles cambios de variables x = u^{2}x′ + r, y = u^{3}y′ + u^{2}sx′ + t que manden la ecuación de Weierstrass en otra ecuación de Weierstrass. Estos satisfacen que u^{4} | c_{4} y u^{6} | c_{6}. Encontrar una combinación lineal de c_{4} y c_{6} tal que u^{4} | 2^{5}3^{2}).

5. En este ejercicio probaremos que la conjetura ABC implica la conjetura de Szpiro. Sea E/ℚ una curva elíptica, y sean c_{4} y c_{6} los respectivos coeficientes (al cancelar términos en un modelo minimal). Luego 1728Δ(E) = c_{4}^{3} − c_{6}^{2}. Supongamos gcd(c_{4}, c_{6}) = 1.

Tomando A = c_{4}^{3}, B = −c_{6}^{2} y C = Δ, y usando la conjetura ABC, tenemos que

máx{|c_{4}|^{3}, |c_{6}|^{2}, |Δ|} ≤ κ_{ϵ} ∏_{p|c_{4}c_{6}Δ} p^{1+ϵ}.

Claramente el producto de la derecha es menor que |c_{4}c_{6}N_{E}|^{1+ϵ}. Utilizando una combinación lineal apropiada de estas 3 desigualdades, concluir que entonces

|Δ|^{1−5ϵ} ≤ κ_{ϵ}^{6}N_{E}^{6+6ϵ}.

6. Sea E/ℚ una curva elíptica en modelo minimal, y sea p un número primo. Probar que |j(E)|_{p} > 1 si y sólo si E tiene reducción potencialmente multiplicativa en p (o sea un nodo).

7. Recordar que definimos las curvas de Tate como:

E_{q} : y^{2} + xy = x^{3} + a_{4}x + a_{6},

donde los coeficientes a_{4} y a_{6} estaban dados por las series:

a_{4}(q) = −5 ∑_{n≥1} \frac{n^{3}p^{n}}{(1 − q^{n})}, a_{6}(q) = 1\frac{1}{12} ∑_{n≥1} \frac{(7n^{5} + 5n^{3})q^{n}}{1 − q^{n}} .

Probar que tomando q = e^{2πiz}, este es el desarrollo de Fourier de las respectivas formas modulares complejas (usando el desarrollo de Fourier de G_{2k}(z) calculado en la teórica).