Teorema de Fermat - Práctica 2

1er. Cuatrimestre 2011

Notaremos por K un cuerpo arbitrario.

1. Si E es una ecuación de Weierstrass en un cuerpo de característica distinta de 2 y 3, probar que:

E es no singular si y sólo si Δ(E) ≠ 0.

E tiene una cúspide si y sólo si Δ(E) = 0 y c_{4} = 0. E tiene un nodo si y sólo si Δ(E) = 0 y c_{4} ≠ 0.

2. Sea E/K una curva elíptica dada por ecuación de Weierstrass

E : y^{2} + a_{1}xy + a_{3}y = x^{3} + a_{2}x^{2} + a_{4}x + a_{6}.

Si P = (x, y) es un punto de E(K) (i.e. las coordenadas de P están en el cuerpo K y satisfacen la ecuación de la curva), calcular las coordenadas del punto 2P.

3. Para cada una de las siguientes curvas elípticas E/𝔽_{p}, calcular el grupo E(𝔽_{p}):

a) p = 7, E : y^{2} = x^{3} + 1.

b) p = 11, E : y^{2} = x^{3} + 2x − 1.

c) p = 2, E : y^{2} + y = x^{3} + x^{2}.

d) p = 3, E : y^{2} + y = x^{3} + 2x + 2.

4. Usando los resultados de la Teórica (no demostrados), probar que dado un primo p y una curva elíptica E/𝔽_{p}, existen números naturales m, n, con p ∤ m tales que

E(𝔽_{p}) ≃ ℤ/m × ℤ/mn (como grupos).

Aunque no lo vimos en el curso, usando el “Weil pairing”, se puede probar que p ≡ 1 (mód m).

5. El objetivo de este ejercicio es probar que dado un retículo Λ, toda función elíptica F (z) es de la forma

F (z) = \frac{p(P_{Λ}(z))}{q(P_{Λ}(z))} + P′_{Λ}(z)\frac{r(P_{Λ}(z))}{s(P_{Λ}(z))},

donde p(x), q(x), r(x) y s(x) ∈ ℂ[x].

Probar primero que toda función es suma de una función par mas una función impar. Deducir del hecho que P′_{Λ}(z) es impar que basta considerar el caso F (z) par.

Recordar que dada una función elíptica F (z), por ord_{w}(F (z)) denotamos el orden del cero o el orden del polo de F (z) (siendo el primero positivo y el segundo negativo). Probar que si F (z) es una función elíptica par y w ∈ ℂ es una raíz o un polo de F (z), entonces:

\{ \begin{matrix}si 2w ∉ Λ entonces − w también es cero o polo. \\ si 2w ∈ Λ entonces 2 | ord_{w}(F (z)). \end{matrix}

Consideremos H_{Λ} la “mitad” del dominio fundamental Π_{Λ} por la acción de −1; esto es H es tal que ℂ = (H + Λ) ∪ (−H + Λ), donde la unión es disjunta (salvo en puntos de Λ). El ítem anterior demuestra que los ceros y polos (con multiplicidad) de F (z) son de la forma

∑_{w∈H} n_{w}((w) + (−w)),

o sea que podemos enumerarlos todos en términos de elementos en H y en −H. Notar que para decir esto usamos que si 2w ∈ Λ, entonces (w) = (−w) y n_{w} = ord_{w}(F (z))/2 en este caso. Definimos la función

G(z) = ∏_{w∈H\{0}}(P_{Λ}(z) − P_{Λ}(w))^{n_{w}}.

Probar que salvo en el 0, la función G(z) y la función F (z) tiene los mismos polos y ceros. Deducir que \frac{F (z)}{G(z)} es constante.