Teorema de Fermat - Práctica 1

1er. Cuatrimestre 2011

Notaremos por K un cuerpo arbitrario.

1. Sea P (x, y, z) un polinomio de grado 2 homogéneo, y P_{0} una solución de P (x, y, z) = 0 en ℙ^{2}(K). Probar que el conjunto de soluciones de {(x, y, z) ∈ ℙ^{2}(K) : P (x, y, z) = 0} esta en biyección (vía una función racional, con lo cual isomorfo como variedad algebraica) con ℙ^{1}(K).

2. Para cada una de las siguientes cónicas, encontrar un punto racional o probar que no existe un tal punto:

x^{2} + y^{2} = 6.

3x^{2} + 5y^{2} = 4.

3x^{2} + 6y^{2} = 4.

3. Miremos K = ℚ[\sqrt{−5}], y 𝒪_{K} = ℤ + ℤ\sqrt{−5} un anillo en K (para el que cursó Teoría de Números, 𝒪_{K} es justamente el anillo de enteros de K). Probar que 𝒪_{K} no tiene factorización única, mostrando que los elementos 2, 3, 1 + \sqrt{−5} y 1 − \sqrt{−5} son irreducibles, pero

6 = 2 · 3 = (1 − \sqrt{−5})(1 + \sqrt{−5}).

4. Recordemos el Teorema de Minkowski que dice que una forma cuadrática q(x_{1}, …, x_{n}) con coeficientes racionales representa 0 en ℚ si y sólo si lo hace en ℝ y módulo m para todo m ∈ ℕ. Vía el Teorema Chino del resto, basta ver que representa 0 módulo p^{n} para todo primo p y todo n ∈ ℕ. Sea q(x, y, z) = ax^{2} + by^{2} + cz^{2}, con a, b, c ∈ ℤ, y sea p un primo impar tal que p ∤ abc. Probar que q(x, y, z) representa 0 módulo p.

5. (Lema de Hensel) Sea f(x) ∈ ℤ[x] un polinomio y p un número primo. Sea r ∈ ℤ tal que f(r) ≡ 0 (mód p^{n}) y f′(r) ≢ 0 (mód p), entonces existe r̃ ∈ ℤ tal que f(r̃) ≡ 0 (mód p^{n+1}) y r ≡ r̃ (mód p^{n}).

6. Deducir de los últimos 2 ejercicios, que toda forma cuadrática en 3 o mas variables representa el cero módulo p^{n} para casi todo primo p y todo n ∈ ℕ.