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%%%%% SUGERENCIA DE HEADER Y FOOT
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\newcommand{\semestre}{Primer Cuatrimestre 2018}



\lhead{Pr\'actica 2,5 -- \semestre}

\newtheorem{ejer}{Ejercicio}

\newcommand{\bej}{\begin{ejer} \rm}
\newcommand{\fej}{\end{ejer}}
\renewcommand{\theenumi}{\alph{enumi}} % Para cambiar la forma de enumerar en el entorno \begin{enumerate}



\def\A{\mathbb{A}}
\def\C{\mathbb{C}}
\def \N{\mathbb{N}}
\def \P{\mathbb{P}}
\def \Q{\mathbb{Q}}
\def \R{\mathbb{R}}
\def \Z{\mathbb{Z}}


\def\d{\displaystyle}

\topmargin-2cm \vsize 29.5cm \hsize 21cm
\setlength{\textwidth}{16.5cm} \setlength{\textheight}{23.5cm}
\setlength{\oddsidemargin}{0.0cm}
\setlength{\evensidemargin}{0.0cm}


\begin{document}
\thispagestyle{empty}

\centerline{{\small Universidad de Buenos Aires - Facultad de
Ciencias Exactas y Naturales - Depto. de Matem\'atica}}

\vskip 0.2cm

\hrulefill
\vskip 0.2cm
\centerline{{\bf\Huge {\sc Optimizaci\'on }}}
\vskip 0.2cm
\centerline{{\ttfamily \semestre}}
\hrulefill

\bigskip

\centerline{\bf  Pr\'actica N$^\circ$ 2,5: M'etodos Cuasi Newton (Versi'on preliminar).}
\bigskip



\medskip

\bej {\bf (Búsqueda por la razón dorada:)} Se desea fijar un criterio para la elección de $\alpha_k$, $\beta_k$ en el algoritmo anterior, de manera tal que se cumplan:
\begin{itemize}
 \item que en cada paso el intervalo se vea reducido en un factor fijo $\eta$:
$$\beta_{k+1}-\alpha_{k+1}=\eta(\beta_k-\alpha_k),$$
\item que en cada paso sea necesario evaluar $f$ una sola vez. Es decir, que alguno de los nuevos puntos: $\alpha_{k+1}$ ó $\beta_{k+1}$ coincida con alguno de los anteriores $\alpha_k$ ó $\beta_k$.
\end{itemize}
Escribir las fórmulas para $\alpha_{k+1}$ y $\beta_{k+1}$	 en función de $a_k$, $b_k$ y $\eta$ para que se satisfaga la primer condición, y calcular el valor de $\eta$ para que se cumpla la segunda.   \fej

\bej Cambios lineales de variables no afectan al m\'etodo de Newton. Consideramos
el cambio de variables $x = Sy$ con $S$ inversible. Escribir el método de
Newton en las variables $y$ y mostrar que genera la sucesión $y_k = S^{-1}x_k$,
siendo ${xk}$ la sucesión generada por el método de Newton en las variables
x\fej

\bej
Implemente el siguiente algoritmo que generaliza el método de Newton:
Dados $x_0 \in\mathbb{R}$, $\alpha \in (0, 1)$.
\begin{enumerate}
\item Si $\nabla f(x_k) = 0$ Parar.
\item Intentar la factorización de Cholesky: $\nabla^2 f(x_k) = LL^t$
\item Si (2) es posible obtener $d_k \in\mathbb{R}^n$ resolviendo
$$Lz = -\nabla f(x_k),\  Ld_k = z.$$
\item Si (2) no es posible, hacer $d_k = -\nabla f(x_k)$.
\item Elegir $t$ por Armijo de modo que se satisfaga $f(x_k + td_k) \le f(x_k) +
\alpha t\nabla f(x_k)^td_k$, hacer $x_{k+1 }= x_k + td_k$ y volver a (1).
\end{enumerate}
\fej
\bej Considere la funcion $f(x; y) = (x-2y)^2+x^4$. Calcular la direccion de Newton en el punto
$(2; 1)$. ?`Cumple el valor $t = 1$ la regla de Armijo con par\'ametro $\alpha = \dfrac{1}{5}$?
\fej 
\end{document}