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\newtheorem{ejer}{Ejercicio}

\newcommand{\bej}{\begin{ejer} \rm}
\newcommand{\fej}{\end{ejer}}

\def\A{\mathbb{A}}
\def\C{\mathbb{C}}
\def \N{\mathbb{N}}
\def \P{\mathbb{P}}
\def \Q{\mathbb{Q}}
\def \R{\mathbb{R}}
\def \Z{\mathbb{Z}}

\newcommand{\az}{\textcolor{black}}

\def\d{\displaystyle}
\def\erf{\mbox{\rm erf}}
\def\dx{\ dx}
\topmargin-1cm \vsize=29.5cm \hsize=21cm
\leftmargin 1cm
\setlength{\textwidth}{14cm} \setlength{\textheight}{23cm}
\setlength{\evensidemargin}{0.0cm}
\def\iint{\int\hskip -7pt\int}


\begin{document}
\thispagestyle{empty}

\centerline{{\small Universidad de Buenos Aires - Facultad de
Ciencias Exactas y Naturales - Depto. de Matem\'atica}}

\vskip 0.2cm

\hrulefill
\vskip 0.2cm
\centerline{{\bf\Huge {\sc Optimizaci\'on }}}
\vskip 0.2cm
\centerline{{\ttfamily Primer Cuatrimestre 2018}}
\hrulefill

\bigskip

\centerline{\bf  Trabajo Pr\'actico N$^\circ$ 1: Regresi\'on no lineal.}
\bigskip



\medskip

\noindent{\bf Computadoras personales:}

%\bej
Una prestigiosa empresa inform\'atica mand'o a realizar un estudio de mercado para investigar la relaci\'on entre la probabilidad de que una familia compre una computadora y el precio de la misma. Los datos que siguen se basan en encuestas hechas en dos ciudades similares. Se seleccionaron 1000 hogares en cada ciudad y se pregunt\'o en cada uno si comprar'ian una PC a un precio determinado. Se propusieron 8 precios (simbolizados con $X$ en d\'olares) a cada uno de los voluntarios quienes respondieron si comprar'ian o no. Las probabilidades para cada ciudad fueron:

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline 
\multicolumn{9}{|c|}{Ciudad A }\\ 
\hline 
i & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 
\hline 
$X_i$ & 200 & 400 & 800 & 1200 & 1600 & 2000 & 3000 & 4000 \\ 
\hline 
$Y_i$ & 0.65 & 0.46 & 0.34 & 0.26 & 0.17 & 0.15 & 0.06 & 0.04 \\ 
\hline 
\end{tabular} 
%\newline
\medskip
\end{center}

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline 
\multicolumn{9}{|c|}{Ciudad B }\\ 
\hline 
i & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 
\hline 
$X_i$ & 200 & 400 & 800 & 1200 & 1600 & 2000 & 3000 & 4000 \\ 
\hline 
$Y_i$ & 0.63 & 0.50 & 0.3 & 0.24 & 0.19 & 0.12 & 0.08 & 0.05 \\ 
\hline 
\end{tabular} 
\medskip
\\
\end{center}

No se esperan diferencias significativas y los datos se tratan como r\'eplicas independientes entre las ciudades de cada uno de los 8 precios.\\
Se propone un modelo exponencial como el m\'as apropiado.

\begin{enumerate}
\item Aplicar logaritmos para ajustar los datos transformados con una recta de m\'inimos cuadrados. Considerar el modelo:
$$Y_i=\alpha_0 e^{-\alpha_1 X_i}.$$
Usar el algoritmo de Gauss-Newton o descomposiciones de una matriz apropiada y comparar los gr\'aficos.
\item Buscar los par\'ametros \'optimos en el caso que el modelo propuesto sea
$$Y_i=\alpha_0 e^{-\alpha_1 X_i}+\alpha_2.$$
?`Coinciden con los obtenidos en el item anterior? ?`Cu\'al de los dos modelos tiene el menor error?
\item Si se a\~{n}adiera un t\'ermino representativo de la ciudad se obtiene el siguiente modelo de cuatro par\'ametros:
$$Y_i=\alpha_0+\alpha_2 e^{-\alpha_1 X_i}+\alpha_3 Z_{i},$$
donde 
\begin{equation}\nonumber
Z_i=\left\lbrace \begin{array}{l}
1\text{ si vive en A}\\
\\
0\text{ si vive en B}.
\end{array}\right.
\end{equation}
Analizar mediante el m\'etodo de Gauss-Newton la existencia de par\'ametros \'optimos en este caso. Compare con los par\'ametros obtenidos en los items anteriores.
\end{enumerate}
%\fej

\end{document}